1、综合测评(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1经过点(2，1)且与直线xy50垂直的直线的方程是()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30解析：因为所求的直线与直线xy50垂直，故所求直线的斜率为1. 又直线经过点(2，1)，故所求直线的方程为y1x2，即xy30.答案：D2若直线2ay10与直线(3a1)xy10平行，则实数a等于()A. BC. D解析：因为两直线平行，所以3a10，即a.答案：C3设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P，则|PP|()A. B2C|abc| D2|
2、abc|解析：P(a，b，c)关于原点对称的点为P(a，b，c)，则|PP|2.答案：B4已知等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图面积为()A. B.C. D.解析：底边长为1，高为sin 45，S.答案：D5已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. 又AMBC，OMAA16，所以球O的半径为ROA.答案：C6若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19C9 D11解析：圆C2的标准方程为(x3)2
3、(y4)225m.又圆C1：x2y21，所以|C1C2|5.又因为两圆外切，所以51，解得m9.答案：C7如图所示，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，且PA底面ABCD，M是PC上的任意一点，则下列选项能使得平面MBD平面PCD的是()AM为PC的中点BDMBCCDMPCDDMPB解析：底面ABCD为菱形，则BDAC，PA底面ABCD，则PABD，PAACA，BD平面PAC，PC平面PAC，BDPC，若是DMPC，则有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD，故C成立答案：C8设表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：若a，ab，则b若ab，a，则b若a，a
4、b，则b若a，b，则ab.其中为假命题的是()A BC D解析：中b还可能平行于或与斜交；中b还可能在内；是真命题. 故选A.答案：A9已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1C2 D.解析：因为点P(2,2)为圆(x1)2y25上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直. 因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k2，故过点P(2,2)的切线斜率为，所以直线axy10的斜率为2，因此a2.答案：C10已知圆C：(x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等，则b
5、()A BC D解析：设圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|CB|可知，圆心C(1,2)到直线2xyb0的距离也等于1才符合题意，于是1，解得b.答案：D11已知点P(x，y)满足(x2)2y21，则的取值范围是()A.B，3C(，)D.解析：(x2)2y21表示圆心为(2,0)，半径为1的圆，过点(0,0)和P(x，y)的直线的斜率为. 如图，可知这样的直线的倾斜角的范围为. 故的取值范围为.答案：A12已知P(t，t)，tR，M是圆O1：x2(y1)2上的动点，N是圆O2：(x2)2y2上的动点，则|PN|PM|的最大值是()A.1 B.C1 D2解析：因为
6、M是圆O1上的点，N是圆O2上的点，两圆的半径都是，又因为P(t，t)，tR在直线yx上，则求|PN|PM|的最大值就是求的最大值，即求PO2PO11的最大值，而PO2PO1的最大值是点O1关于直线yx的对称点(1,0)到O2(2,0)的距离，所以PO2PO11的最大值是2，即|PN|PM|的最大值为2，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案填在题中横线上)13已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15 cm2，则此圆锥的体积为_ cm3.解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则有rl15，知r3，h4.其体积VShr2h32412.答案：1214已知正四棱
7、锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为30，则该正四棱锥的侧面积等于_ cm2.解析：如图，正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成RtPOE.因为OE42(cm)，OPE30，所以PE4(cm)所以S侧面积44432(cm2)答案：3215对于任意实数k，直线(3k2)xky20与圆x2y22x2y20的位置关系是_解析：把圆的方程化为标准形式得：(x1)2(y1)222，可知圆的半径等于2，求出圆心到直线的距离d2.所以直线与圆相切或相交答案：相切或相交16.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下四个结论：直线D1C平面A1ABB1；直线A1D1与平面BCD1相交；直线
8、AD平面D1DB；平面BCD1平面A1ABB1.其中正确结论的序号为_解析：因为平面A1ABB1平面D1DCC1，D1C平面D1DCC1，所以D1C平面A1ABB1，正确；直线A1D1在平面BCD1内，不正确；显然AD不垂直于BD，所以AD不垂直于平面D1DB，不正确；因为BC平面A1ABB1，BC平面BCD1，所以平面BCD1平面A1ABB1，正确答案：三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知ABC的三个顶点分别为A(2,3)，B(1，2)，C(3,4)，求(1)BC边上的中线AD所在的直线方程；(2)ABC的面积解
9、析：(1)设D点的坐标为(x0，y0)，则x02，y01，所以D(2,1)又A(2,3)，所以直线AD的斜率k，所以BC边上的中线AD的方程为y1(x2)，即x2y40.(2)|BC|2，BC边的方程为3xy50.点A到BC边的距离d，所以SABC|BC|d214.18(本小题满分12分)已知圆C：x2y22x4y40，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OAOB.设直线l的方程是yxb，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，即x1x2y1y
10、20，由消去y得：2x22(b1)xb24b40，x1x2(b1)，x1x2(b24b4)，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2(b24b4)b2bb2(b22b4)把式代入式，得b23b40，解得b1或b4，且b1或b4都使得4(b1)28(b24b4)0成立，故存在直线l满足题意，其方程为yx1或yx4.19.(本小题满分12分)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证：(1)C1O平面AB1D1，(2)A1C平面AB1D1.证明：(1)如图，连接A1C1，设A1C1B1D1O1，连接AO1，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以A1A
11、CC1是平行四边形，所以A1C1AC且A1C1AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，所以O1C1AO且O1C1AO，所以AOC1O1是平行四边形，所以C1OAO1. 因为AO1平面AB1D1，C1O平面AB1D1，所以C1O平面AB1D1.(2)因为CC1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以CC1B1D1，又因为A1C1B1D1，所以B1D1平面A1C1C，即A1CB1D1.因为A1BAB1，BCAB1，又A1BBCB，AB1平面A1BC，又A1C平面A1BC，所以A1CAB1，又D1B1AB1B1，所以A1C平面AB1D1.20(本小题满分12分)已知矩形ABCD的
12、两条对角线交于点M，AB边所在直线方程为3x4y40，点N在AD所在直线上(1)求AD所在直线的方程；(2)求矩形ABCD的外接圆C1的方程解析：(1)AB所在直线方程为3x4y40，且AD与AB垂直，直线AD的斜率为.又点N在AD所在直线上，直线AD的方程为y(x1)，即4x3y30.(2)由解得点A的坐标为(0，1)又两条对角线交于点M，M为矩形ABCD的外接圆的圆心，而|MA|，外接圆的方程为2y2.21.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.(1)求证：AB平面VAD；(2)求平面VAD与平面VDB所成的
13、二面角的正切值解析：(1)证明：底面ABCD是正方形，ABAD.平面VAD底面ABCD，平面VAD底面ABCDAD，ABAD，AB底面ABCD，AB平面VAD.(2)取VD的中点E，连接AE，BE.VAD是正三角形，AEVD，AEAD.AB平面VAD，VD平面VAD，ABVD.又ABAEA，VD平面ABE.BE底面ABE，VDBE，AEB就是平面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角在RtBAE中，tanBEA.平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值为.22(本小题满分12分)如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折叠，使得
14、DEEC.(1)求证：AE平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由解析：(1)证明：由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE平面CDE，EC平面CDE，AE平面CDE.(2)证明：取AB中点H，连接GH，FH，GHBD，FHBC，GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理：FH平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)取线段AE的中点R，则平面BDR平面DCB.取线段DC的中点M，取线段DB的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM.则MS綊BC，又RE綊BC，MS綊RE，四边形MERS是平行四边形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.