1、民乐一中20202021学年第一学期高二（4）部期中考试数学试卷（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质判断各选项【详解】由于，B中无意义，B错；时，C，D均错 只有正确，故选：A【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键，在应用不等式性质时，一定要注意不等式成立的条件，否则易出错2. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“若，则”的逆
2、否命题为：“若，则”C. 若命题，使得，则，均有D. 若为假命题，则、均为假命题【答案】D【解析】【分析】A选项，求出二次方程的解即可判断；命题“若，则q”的逆否命题为“若，则”，B正确；特称命题的否定为全称命题，C正确；根据复合命题的真假判断规则判断D选项.【详解】A选项，的解为或2，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；B选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，B正确；C选项，特称命题的否定为全称命题，C正确；D选项，若为假命题，则、中至少有一个为假命题.故选：D【点睛】本题考查充分不必要条件、逆否命题、含一个量词的命题的否定、复合命题的真假判断，属于基础题.3. 设实数，满足不等
3、式组，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先画出可行域，再画出初始目标函数，再根据数形结合分析目标函数的取值范围.【详解】如图，画出可行域，令， 当时，画出初始目标函数表示的直线，当直线平移至点时，取得最小值，根据可行域可知，无最大值，所以的范围是.故选：C【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解
4、析】【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程【详解】由题意，解得，椭圆方程为或故选：A【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种5. 已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线，求得，得到，再由焦点到渐近线的距离为，求得，进而得到，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，即，又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以焦点到的距离为，所
5、以，又由，所以双曲线的方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）A. 且B. 且C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的标准方程可知，且 即可求出.【详解】由题意，得，解得且故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于中档题.7. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投
6、影图形的面积，则( )A. S1S2S3B. S2S1且S2S3C. S3S1且S3S2D. S3S2且S3S1【答案】D【解析】试题分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A，B，C，D，在xOy坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，0），S1=在yOz坐标平面上的正投影A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，0），D（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，0，0），C（0，0，0），D（1，0，
7、），S3=，则S3=S2且S3S1，故选D考点：空间直角坐标系8. 已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题得渐近线的倾斜角为，所以化简即得解.【详解】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为，所以所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 四棱锥中，则这个四棱锥的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从而可求出到平面的距离【详解】解：设平面的法
8、向量为，则，令可得，即，2，设与平面所成角为，则，于是到平面的距离为，即四棱锥的高为故选：【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题10. 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，O为坐标原点，则（ ）A. B. C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】画出图像,分别作关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.【详解】如图,作分别作关于准线的垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有.设,故,故.故,故是边的中位线,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据
9、题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角形的面积关系，可得，再根据可得关于的不等式，从而可求得离心率的取值范围.【详解】的面积关系可得：，则，.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立.12. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为
10、，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】首先设椭圆的方程为，双曲线方程为，点在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：，从而得到，利用余弦定理得到，从而得到，再利用基本不等式即可得到答案。【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得：，解得，在中，由余弦定理得：，即：整理得：。所以，即，当且仅当时，等号成立故，所以的最大值为。故选：B【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率，同时考查了基本不等式，属于中档题。第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_【答案
11、】【解析】【分析】由题意可知恒成立，结合二次函数的性质可求的最小值，从而可求出实数的取值范围.【详解】原命题否定，为真命题，即，因为图象开口向上，对称轴为，则，故答案为: .【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围，考查了已知命题的真假性求参数的取值范围.本题的关键是由已知得不等式恒成立.14. 已知，且，则最小值为_.【答案】7【解析】【分析】由条件可得，展开后利用基本不等式可得最小值.【详解】由可得 当且仅当，即时，取得最小值7.故答案为:7.【点睛】本题主要考查了巧用“1”求最值，涉及基本不等式的应用，属于基础题.15. 正三棱柱中，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_【答案】
12、【解析】【分析】利用向量的方法，以为基底表示，并计算，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】如图，由侧棱和底面垂直，所以且，且，异面直线与成角的大小为故答案为：【点睛】本题考查利用向量的方法求解异面直线所成的角，本题关键在于选择合适的向量作为基底，考查计算能力，属基础题.16. 在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由抛物线定义可知M的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知B点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值.【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点M到定点A的距离等于动点M到直线的距
13、离，故动点M的轨迹为，由可得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以AD为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心E,半径r=过M做M垂直准线，垂足为则故答案为【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，涉及抛物线的轨迹，圆的轨迹，直线过定点，线段和的最值，考查数形结合的思想，属于难题.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤，写在答题纸的相应位置17. 已知命题:，不等式恒成立；命题:有两个不同的实数根，若为真，且为假，求实数的取值范围【答案】或.【解析】【分析】先求出当真、真时，的取值范围，由、一真一假列式计算即可.【详解】命
14、题真:，不等式恒成立或；命题真：有两个不同的实数根或；若为真，且为假，则、一真一假，当真假时，当假真时，实数的取值范围为：或【点睛】本题考查了复合命题真假的判断，考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力与分类讨论思想的应用，属于基础题18. 设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】.【解析】分析】解不等式得到条件对应的的集合，分别设为由是的必要不充分条件可得是的必要不充分条件，从而得到，进而得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围【详解】由得，解得，设由得，解得，设 是的必要不充分条件，是的必要不充分条件，即，解得.实数的取值范围为【点睛】利用充要条件求参数的值或范围，关键在于合
15、理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验对于含有否定性词语的命题，一般要转化为它的等价命题求解19. 已知动点到直线的距离比它到点的距离大1.（1）求动点M轨迹E的方程；（2）若直线与轨迹E交于A，B两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得动点到直线的距离与到点的距离相等，再利用抛物线的定义得到的轨迹的方程（2）设，由，消去，得：，由此利用根的判别式、圆的性质，结合已知条件能求出直线的方程【详解】（1）由已知得动点到直线的距离与到点的距离相等，动点的轨迹为抛物线，设，动点的轨迹
16、的方程为（2）设，将直线代入得：，则，解得，以为直径的圆过原点，解得.【点睛】本题考查求轨迹方程、直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意抛物线定义的运用.20. 在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据条件，结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.（2）当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线，变形后由中点坐标公式可求得斜率，即可求得直线方程
17、.【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，双曲线的标准方程为C：.（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，设，则，化简可得，因为有两个交点，所以化简可得恒成立，所以，因为恰好为线段的中点，则，化简可得，所以直线方程为，即.【点睛】本题考查根据双曲线定义求双曲线标准方程，直线与双曲线的位置关系，由中点坐标求直线方程，属于中档题.21. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD中点，点F在PC
18、上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由【答案】()见解析；() ；()见解析.【解析】【分析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；()建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；()首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】()由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAAD=A，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.()以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴
19、，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.()易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.
20、（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离 与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.