1、2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用2.4 二次函数【高考新动向】一、考纲点击1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；2.会求二次函数在闭区间上的最值；3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题.二、热点、难点提示1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点.2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题,重点考查三者之间的综合应用.3.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇，则以解答题的形式出现.【考纲全景透析】1.二次函数的解析式2二次函数的图象与性质【热点难点全析】一、求二次函数的解析式1相关链接求二次函数解析式
2、的方法及思路求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2例题解析【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为求f(x)的解析式.【方法诠释】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图象在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式.解析：设f(x)的两零点分别为x1,x2,方法一：设f(x)=ax2+bx+c,则由题知：c=1,且对称轴为x=-2.即b=4a.f(x)=ax2+4ax+1.b=4a=2函
3、数f(x)的解析式为方法二：f(x-2)=f(-x-2),二次函数f(x)的对称轴为x=-2.设f(x)=a(x+2)2+b,且f(0)=1,4a+b=1.f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,【方法指导】用待定系数法求二次函数的解析式：(1)设一般式是通法；(2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式,若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量.【例2】如图,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上、两点，该抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于点,且ABC90,求：(1)直线AB对应函数的解析式；(2)抛物线的解析式
4、.【解析】(1)由已知及图形得：A(4,0),B(0,-4k),(-1,0)，又CBA=BOC=90,OB2=COAO.(-4k)2=14, 又由图知k0, 所求直线的解析式为(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则解得所求抛物线的解析式为二、二次函数图象与性质的应用1相关链接求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得二次函数单调性问题的解法结
5、合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.注：配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.2例题解析【例】(2012盐城模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数；(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.解析：(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在-4,2)上为减函数,在
6、(2,6上为增函数,f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35.(2)函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3其图象如图所示：注：1.影响二次函数f(x)在区间m,n上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论.2.确定与应用二次函数单调性，常借助其图象数形结合求解.三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题1相关链接二次函数问题
7、的解题思路(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.2例题解析【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1x4的一切x值都有f(x)0,求实数a的取值范围.【方法诠释】解答本题可以有两条途径：(1)分a0,a0,a=0三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min0,从而求出a的取值范围；(2)将参数a分离得然后求的最大值即可.解析：方法一：当a0时, 由f(x)0,x(1,4
8、)得：或或或或a1或或,即当a0时,解得a;当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意.综上可得,实数a的取值范围是方法二：由f(x)0,即ax2-2x+20,x(1,4),得在(1,4)上恒成立.令所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立,只要即可.注：1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论.2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.【高考零距离】1. （2012福建高考文科15）已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_【解题指南】开口向上
9、的抛物线，要恒正，必须和x轴没有交点【解析】选由题，解得答案: 2. （2012北京高考文科14）已知f（x）=m（x-2m）（xm3），g（x）=2x-2。若，f（x）0或g（x）0，则m的取值范围是_。【解题指南】由于的符号容易确定，先从的符号入手。对于时，为二次函数，两个零点，利用其图象就可以列出式子来。【解析】当时，；当时，只需，易知时，不成立，所以，解得。综上，答案：3.（2010安徽高考理科6）设，二次函数的图象可能是（ ）、B、【命题立意】本题主要考查二次函数图像与其系数的关系，考查考生的逻辑推理能力【思路点拨】逐项验证，由图象先确定、的符号，再根据对称轴的正负确定的符号。【规范
10、解答】选 .由选项的二次函数图象可知，且对称轴，所以，满足，故正确；同理可判断、B、错误。【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑，另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响。【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知xR,函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是 ( )()1 ()2 ()3 ()42.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )()f(2)f(1)f(4) ()f(1)f(2)f(4)()f(2)f(4)
11、f(1) ()f(4)f(2)f(1)3.(2012长春模拟)设二次函数f(x)=ax2+bx+c，如果f(x1)=f(x2)(x1x2)，则f(x1+x2)等于( )() ()()c ()4.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象，则函数g(x)=lnx+f(x)的零点所在的区间是( )()(1，2) ()(2，3)()(，) ()(，1)5.（预测题）函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间-1,+)上是递减的,则实数a的取值范围是( )()-3,0) ()(-,-3()-2,0 ()-3,06.（易错题）若不等式x2+ax+10对于一切x(0, 恒成立,则a的最小值是( )
12、()0 ()2 ()- ()-3二、填空题(每小题6分，共18分)7.（2012福州模拟）已知二次函数f(x)=ax2+bx+1的值域为0，+）且f(-1)=0,则a=_，b=_.8.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、bR)是偶函数，且它的值域为(-,4，则该函数的解析式f(x)=_.9.(2012泉州模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为-,-4,则m的取值范围为_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.（2012厦门模拟)已知函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb满足f(-1)=-2且对于任意xR,恒有f(x)2x成立.（1）求实数a,b的值；（2）解
13、不等式f(x)x+5.11.(2012长沙模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数a的值;(2)若对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,求实数a的取值范围.【探究创新】(16分)已知直线AB过x轴上一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于B(1,-1)、两点.(1)求直线和抛物线对应的函数解析式.(2)问抛物线上是否存在一点,使SOAD=SOBC?若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选.由已知f(-x)=f(x)(m-2)x=0,又xR,m-2=0,得m=2.2.【解析】选.依题意
14、,函数f(x)=x2+bx+c的对称轴方程为x=2,且f(x)在2,+)上为增函数,因为f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),234,f(2)f(3)f(4),即f(2)f(1)f(4).3.【解析】选.f(x1)=f(x2)(x1x2),即x1+x2=- ,f(x1+x2)=f(-)=a(-)2+b(-)+c=c.4.【解析】选.由二次函数的图象知又f(x)=2x-b,g(x)=lnx+2x-b,则g()=ln+2-b=ln+1-b,ln0,1-b0,g()0,g(1)=ln1+2-b=2-b0,g(1)g()0,故选.5.【解析】选.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a
15、0时，需解得-3a0,综上可得-3a0.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选,失误的原因是将关于x的函数误认为二次函数.6.【解析】选.方法一：设g(a)=ax+x2+1,x(0, ,g(a)为单调递增函数.当x=时满足：a+10即可，解得a-.方法二：由x2+ax+10得a-(x+)在(0,上恒成立,令g(x)=-(x+),则知g(x)在(0, 为增函数,g(x)max=g()=-,a- .【方法技巧】关于二元不等式恒成立问题的求解技巧：(1)变换主元法：求解二元不等式,在其中一个元所在范围内恒成立问题，当正面思考较繁或难以入手时，我们可以变换主元，将问题转化为求解关于另一个变量的函数
16、的最值或值域问题，从而求解.(2)分离参数法：根据题设条件将参数(或含有参数的式子)分离到不等式的左边，从而将问题转化为求不等式右边函数的最值问题.7.【解析】由题意知,解得.答案：1 28.【解题指南】化简f(x)，函数f(x)为偶函数，则一次项系数为0可求b.值域为(-,4,则最大值为4，可求a，即可求出解析式.【解析】f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，2a+ab=0，b=-2或a=0(舍去).又f(x)=-2x2+2a2且值域为(-,4，2a2=4，f(x)=-2x2+4答案：-2x2+49.【解题指南】可作出函数y=(x
17、-)2-的图象，数形结合求解.【解析】y=x2-3x-4=(x-)2-,对称轴为x=,当x=时,y=-,m,而当x=3时,y=-4,m3.综上：m3.答案：m310.【解析】(1)由f(-1)=-2,知lgb-lga+1=0，=10.又f(x)2x恒成立，有x2+xlga+lgb0恒成立，故（lga）2-4lgb0.将式代入上式得：（lgb）2-2lgb+10,即（lgb-1）20,故lgb=1,即b=10,a=100.(2)f(x)=x2+4x+1,f(x)x+5,即x2+4x+1x+5,x2+3x-40,解得：-4x1,不等式的解集为x|-4x1.11.【解析】(1)f(x)=(x-a)2
18、+5-a2(a1),f(x)在1,a上是减函数，又定义域和值域均为1,a，即解得a=2.(2)若a2,又x=a1,a+1，且(a+1)-aa-1,f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,f(x)max-f(x)min4,即(6-2a)-(5-a2)4,解得-1a3,又a2,2a3.若1a2,f(x)max=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max-f(x)min4显然成立,综上1a3.【探究创新】【解析】(1)设直线对应的函数解析式为y=kx+b,由题知,直线过点(2,0),(1,-1),解得k=1,b=-2.直线的解析式为y=x-2,又抛物线y=ax2过点(1,-1),a=-1.抛物线的解析式为y=-x2.(2)直线与抛物线相交于、两点,故由方程组解得、两点坐标为(1,-1),(-2,-4).由图象可知,SOBC=SOAC-SOAB= |-4|2-|-1|2=3.假设抛物线上存在一点,使SOAD=SOBC,可设(t,-t2),SOAD= 2t2=t2,t2=3,t= 或t=- .即存在这样的点(,-3)或(-,-3).高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )