1、综合测评(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1经过点(2,1)且与直线xy50垂直的直线的方程是()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30解析:因为所求的直线与直线xy50垂直,故所求直线的斜率为1. 又直线经过点(2,1),故所求直线的方程为y1x2,即xy30.答案:D2若直线2ay10与直线(3a1)xy10平行,则实数a等于()A. BC. D解析:因为两直线平行,所以3a10,即a.答案:C3设点P(a,b,c)关于原点对称的点为P,则|PP|()A. B2C|abc| D2|
2、abc|解析:P(a,b,c)关于原点对称的点为P(a,b,c),则|PP|2.答案:B4已知等边三角形的边长为1,那么它的平面直观图面积为()A. B.C. D.解析:底边长为1,高为sin 45,S.答案:D5已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB3,AC4,ABAC,AA112,则球O的半径为()A. B2C. D3解析:如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M. 又AMBC,OMAA16,所以球O的半径为ROA.答案:C6若圆C1:x2y21与圆C2:x2y26x8ym0外切,则m()A21 B19C9 D11解析:圆C2的标准方程为(x3)2
3、(y4)225m.又圆C1:x2y21,所以|C1C2|5.又因为两圆外切,所以51,解得m9.答案:C7如图所示,已知四棱锥PABCD,底面ABCD为菱形,且PA底面ABCD,M是PC上的任意一点,则下列选项能使得平面MBD平面PCD的是()AM为PC的中点BDMBCCDMPCDDMPB解析:底面ABCD为菱形,则BDAC,PA底面ABCD,则PABD,PAACA,BD平面PAC,PC平面PAC,BDPC,若是DMPC,则有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD,故C成立答案:C8设表示平面,a、b表示两条不同的直线,给定下列四个命题:若a,ab,则b若ab,a,则b若a,a
4、b,则b若a,b,则ab.其中为假命题的是()A BC D解析:中b还可能平行于或与斜交;中b还可能在内;是真命题. 故选A.答案:A9已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切,且与直线axy10垂直,则a()A B1C2 D.解析:因为点P(2,2)为圆(x1)2y25上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直. 因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k2,故过点P(2,2)的切线斜率为,所以直线axy10的斜率为2,因此a2.答案:C10已知圆C:(x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等,则b
5、()A BC D解析:设圆C与y轴的两个交点分别是A,B,由圆心C到y轴的距离为1,|CA|CB|可知,圆心C(1,2)到直线2xyb0的距离也等于1才符合题意,于是1,解得b.答案:D11已知点P(x,y)满足(x2)2y21,则的取值范围是()A.B,3C(,)D.解析:(x2)2y21表示圆心为(2,0),半径为1的圆,过点(0,0)和P(x,y)的直线的斜率为. 如图,可知这样的直线的倾斜角的范围为. 故的取值范围为.答案:A12已知P(t,t),tR,M是圆O1:x2(y1)2上的动点,N是圆O2:(x2)2y2上的动点,则|PN|PM|的最大值是()A.1 B.C1 D2解析:因为
6、M是圆O1上的点,N是圆O2上的点,两圆的半径都是,又因为P(t,t),tR在直线yx上,则求|PN|PM|的最大值就是求的最大值,即求PO2PO11的最大值,而PO2PO1的最大值是点O1关于直线yx的对称点(1,0)到O2(2,0)的距离,所以PO2PO11的最大值是2,即|PN|PM|的最大值为2,故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把正确答案填在题中横线上)13已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15 cm2,则此圆锥的体积为_ cm3.解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则有rl15,知r3,h4.其体积VShr2h32412.答案:1214已知正四棱
7、锥的底面边长为4 cm,高与斜高的夹角为30,则该正四棱锥的侧面积等于_ cm2.解析:如图,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成RtPOE.因为OE42(cm),OPE30,所以PE4(cm)所以S侧面积44432(cm2)答案:3215对于任意实数k,直线(3k2)xky20与圆x2y22x2y20的位置关系是_解析:把圆的方程化为标准形式得:(x1)2(y1)222,可知圆的半径等于2,求出圆心到直线的距离d2.所以直线与圆相切或相交答案:相切或相交16.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,给出以下四个结论:直线D1C平面A1ABB1;直线A1D1与平面BCD1相交;直线
8、AD平面D1DB;平面BCD1平面A1ABB1.其中正确结论的序号为_解析:因为平面A1ABB1平面D1DCC1,D1C平面D1DCC1,所以D1C平面A1ABB1,正确;直线A1D1在平面BCD1内,不正确;显然AD不垂直于BD,所以AD不垂直于平面D1DB,不正确;因为BC平面A1ABB1,BC平面BCD1,所以平面BCD1平面A1ABB1,正确答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(1,2),C(3,4),求(1)BC边上的中线AD所在的直线方程;(2)ABC的面积解
9、析:(1)设D点的坐标为(x0,y0),则x02,y01,所以D(2,1)又A(2,3),所以直线AD的斜率k,所以BC边上的中线AD的方程为y1(x2),即x2y40.(2)|BC|2,BC边的方程为3xy50.点A到BC边的距离d,所以SABC|BC|d214.18(本小题满分12分)已知圆C:x2y22x4y40,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由解析:假设存在斜率为1的直线l,满足题意,且OAOB.设直线l的方程是yxb,其与圆C的交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则1,即x1x2y1y
10、20,由消去y得:2x22(b1)xb24b40,x1x2(b1),x1x2(b24b4),y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2(b24b4)b2bb2(b22b4)把式代入式,得b23b40,解得b1或b4,且b1或b4都使得4(b1)28(b24b4)0成立,故存在直线l满足题意,其方程为yx1或yx4.19.(本小题满分12分)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点求证:(1)C1O平面AB1D1,(2)A1C平面AB1D1.证明:(1)如图,连接A1C1,设A1C1B1D1O1,连接AO1,因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以A1A
11、CC1是平行四边形,所以A1C1AC且A1C1AC,又O1,O分别是A1C1,AC的中点,所以O1C1AO且O1C1AO,所以AOC1O1是平行四边形,所以C1OAO1. 因为AO1平面AB1D1,C1O平面AB1D1,所以C1O平面AB1D1.(2)因为CC1平面A1B1C1D1,B1D1平面A1B1C1D1,所以CC1B1D1,又因为A1C1B1D1,所以B1D1平面A1C1C,即A1CB1D1.因为A1BAB1,BCAB1,又A1BBCB,AB1平面A1BC,又A1C平面A1BC,所以A1CAB1,又D1B1AB1B1,所以A1C平面AB1D1.20(本小题满分12分)已知矩形ABCD的
12、两条对角线交于点M,AB边所在直线方程为3x4y40,点N在AD所在直线上(1)求AD所在直线的方程;(2)求矩形ABCD的外接圆C1的方程解析:(1)AB所在直线方程为3x4y40,且AD与AB垂直,直线AD的斜率为.又点N在AD所在直线上,直线AD的方程为y(x1),即4x3y30.(2)由解得点A的坐标为(0,1)又两条对角线交于点M,M为矩形ABCD的外接圆的圆心,而|MA|,外接圆的方程为2y2.21.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD.(1)求证:AB平面VAD;(2)求平面VAD与平面VDB所成的
13、二面角的正切值解析:(1)证明:底面ABCD是正方形,ABAD.平面VAD底面ABCD,平面VAD底面ABCDAD,ABAD,AB底面ABCD,AB平面VAD.(2)取VD的中点E,连接AE,BE.VAD是正三角形,AEVD,AEAD.AB平面VAD,VD平面VAD,ABVD.又ABAEA,VD平面ABE.BE底面ABE,VDBE,AEB就是平面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角在RtBAE中,tanBEA.平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值为.22(本小题满分12分)如图,已知直角梯形ABCD中,E为CD边中点,且AECD,又G,F分别为DA,EC的中点,将ADE沿AE折叠,使得
14、DEEC.(1)求证:AE平面CDE;(2)求证:FG平面BCD;(3)在线段AE上找一点R,使得平面BDR平面DCB,并说明理由解析:(1)证明:由已知得DEAE,AEEC.DEECE,DE平面CDE,EC平面CDE,AE平面CDE.(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH,GHBD,FHBC,GH平面BCD,BD平面BCD,GH平面BCD.同理:FH平面BCD,又GHFHH,平面FHG平面BCD,GF平面FHG,GF平面BCD.(3)取线段AE的中点R,则平面BDR平面DCB.取线段DC的中点M,取线段DB的中点S,连接MS,RS,BR,DR,EM.则MS綊BC,又RE綊BC,MS綊RE,四边形MERS是平行四边形,RSME.在DEC中,EDEC,M是CD的中点,EMDC.由(1)知AE平面CDE,AEBC,BC平面CDE.EM平面CDE,EMBC.BCCDC,EM平面BCD.EMRS,RS平面BCD.RS平面BDR,平面BDR平面DCB.