1、专题16 选择性必修第二册综合练习一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若函数可导，则“有实根”是“有极值”的( )。A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，但有极值则在极值处一定等于，故选A。2已知数列的首项，则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意可知，即，是以为首项、为公差的等差数列，故选A。3下列函数在点处没有切线的是( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】函数在处不可导，点处没有切线，故选C。4已知数
2、列满足：，则( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，-得，数列是以为首项，为公比的等比数列，故选C。5已知数列、满足，则数列的前项和为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由，数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，又，设，数列是等比数列，且公比为，首项为，由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为，故选C。6已知数列满足，()，则( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】用累加法，当时，、，再用缩放，即，故选C。7若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设，由题设原不等式有唯一整数解，即在直线下方，在递减，在递增
3、，故，恒过定点，结合函数图像得，即，故选B。8已知函数，且关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】令，得，当时，函数为增函数，不合题意， 当时，、时，时，、时，单调递增，时，单调递减，时函数有极大值为，时函数有极小值为，由得，当时，、时，时，、时，单调递增，时，单调递减，时函数有极大值为，时函数有极小值为，由得，综上，实数的取值范围是，故选B。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足、，则下列
4、结论中错误的是( )。A、B、C、是数列中的最大值D、【答案】ABD【解析】由、得，A错，前项都大于，而从第项起都小于，B错，是数列中的最大值，C对，又的各项均为正数，D错，选ABD。10已知函数()，则下列结论正确的是( )。A、函数一定存在极大值和极小值B、若函数在、上是增函数，则C、函数的图像是中心对称图形D、函数的图像在点()处的切线与的图像必有两个不同的公共点【答案】ABC【解析】A选项，的恒成立，故必有两个不等实根，不妨设为、，且，令，得或，令，得，函数在上单调递减，在和上单调递增，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，A对，B选项，令，则，易知，B对，C选项，易知两极值点的
5、中点坐标为，又，函数的图像关于点成中心对称，C对，D选项，令得，在处切线方程为，且有唯一实数解，即在处切线与图像有唯一公共点，D错，故选ABC。11设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”。下列命题正确的是( )。A、等差数列可能为“和等比数列”B、等比数列可能为“和等比数列”C、非等差等比数列不可能为“和等比数列”D、若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则【答案】ABD【解析】若等差数列的公差为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对，若等比数列的公比为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对，若数列满足，则是非零常数，它既不是等差数列
6、又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错，正项数列是公比为的等比数列，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，又数列是“和等比数列”，则，又为非零常数，则，即，即，D对，故填ABD。12设函数的零点为、，表示不超过的最大整数，则下列结论正确的是( )。A、函数在上单调递增B、函数与有相同零点C、函数有且仅有一个零点，且D、函数有且仅有两个零点，且【答案】ABD【解析】，当时，函数在上单调递增，故A正确，显然不是零点，令，则在上，与有相同零点，故B正确，在上，在上单调递增，在上也单调递增，而、，存在，使，又、，存在的，使，在上只有两个零点、，也即在上只有两个零点到、，且，故C错误、D正确，故选A
7、BD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和， 。【答案】【解析】，当时，当时，令，解得，令。14函数的导函数的图像如图所示，给出下列判断：函数在区间内单调递增；函数在区间内单调递减；函数在区间内单调递增；当时，函数有极大值；当时，函数有极大值；则上述判断中正确的是 。【答案】【解析】时，单调递减，时，单调递增，错，时，单调递增，时，单调递减，错，时，单调递增，对，时，单调递增，当时不是极大值，错，时，单调递增，时，单调递减，为极大值，对。15已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为 ；若表示不超过的最大整数，如，则数列的前项的和为 。（
8、本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】 【解析】数列是首项为，公差为的等差数列，得到，当时，当时，又，当时，当时，、，当时，、，当时，、，当时，故数列的前项的和为：。16已知函数有唯一一个零点，则 。【答案】【解析】，函数有唯一一个零点等价于方程有唯一解，等价于与的图像只有唯一一个交点，当时，此时有两个零点，矛盾，当时，在上单调递增，在上单调递减， 函数的图像的最高点为，的图像的最高点为， ，此时与的图像有两个交点，矛盾，当时，函数的图像的最高点为，的图像的最底点为， 由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件，综上所述，。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过
9、程或演算步骤。17（10分）已知数列和都是等差数列，。(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：。【解析】(1)设等差数列的公差为， 1分则， 2分又数列是等差数列， 3分化简得，解得， 4分则； 5分(2)由(1)可知， 6分当时，符合， 7分当时， 9分，综上，当时，。 10分18（12分）已知数列满足，(且)。(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式。【解析】(1)当时， 1分当时， 3分数列是以为首项，为公差的等差数列； 4分(2)由(1)知， 5分即， 6分当时，、， 7分利用累加公式可得： 9分， 10分又当时，满足上式， 11分，。 12分19（12分）已
10、知函数。(1)求的单调区间；(2)当时，恒成立，求的取值范围。【解析】(1)的定义域为，令，解得， 2分当，则函数在上单调递减， 3分当，则函数在上单调递增； 4分(2)令，则当时，恒成立， 5分当，时，恒成立，在上是增函数，且，不符合题意， 7分当，时，恒成立，在上是增函数，且，不符合题意， 9分当，时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故， 11分综上，的取值范围是。 12分20（12分）已知数列满足，数列满足，。(1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时， 1分又，数列是首项为，公比为的等比数列， 3分，
11、()； 5分(2)， 6分当时，当时， 7分，当时符合， 9分， 10分。 12分21（12分）已知函数，常数。(1)若，过点做曲线的切线，求的方程；(2)若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围。【解析】(1)设切点，则处的切线方程为， 1分该直线经过点，则， 2分化简得，解得或， 3分切线方程为和； 4分(2)由题意可知只有一个根，设， 5分则，有两个零点、， 6分即有两个根、， 7分设，则在和单调递增，在单调递减，则为极大值，为极小值， 8分则方程只有一个根等价于且或且，又当时， 10分设，为减函数，又，时，时，、都大于或小于，又，则，则且，。 12分22（12分）已知函数()。(1)若函数有两个极值点，求的取值范围；(2)证明：当时，。【解析】(1)的定义域为， 1分若函数有两个极值点，则有两个变号零点， 2分等同于，即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，令，的定义域为，则，令，解得， 4分当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，则为的极大值，也为最大值，当时，当时，当时，且为正数，则的图像如图所示，则此时； 6分(2)证明：令()，则只需证明当时恒成立即可， 7分则，令，则， 9分当时，则，则在时单调递增，又，时，则在时单调递增，当时，即当时，。 12分