1、抛物线_1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(2)其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向
2、向右向左向上向下类型一抛物线的定义及应用例1：过点(0，2)的直线与抛物线y28x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A2B.C2D.【解析】设直线方程为ykx2，A(x1，y1)、B(x2，y2)由得k2x24(k2)x40.直线与抛物线交于A、B两点，16(k2)216k20，即k1.又2，k2或k1(舍去)|AB|x1x2|2.【答案】C练习1：已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3C.D.【答案】A练习2：F是抛物线y22x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段A
3、B的中点到y轴的距离为_【答案】类型二抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A.B.CD【解析】由得x25x40，x1或x4.不妨设A(4,4)，B(1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosAFB.故选D.【答案】D练习1：已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD【答案】练习2： 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_【答案】类型三抛物线焦点弦的性质例3：已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x
4、相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于()A.B.C.D.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，根据抛物线的定义得，|FA|x1x12，|FB|x22，|FA|2|FB|，x12x22，由得x21，B(1,2)，代入yk(x2)得k，选D.【答案】D练习1：过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.【解析】直线yx，故x23px0，|AB|8x1x2p，4p8，p2.【答案】2类型四直线与抛物线的位置关系例4：如图所示，O为坐标原点，过
5、点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y22x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OMON【解析】(1)直线l的方程为yk(x2)(k0)(2)由及y22x，消去y可得k2x22(2k21)x4k20.点M，N的横坐标x1与x2是的两个根，由韦达定理，得x1x24.由y2x1，y2x2，得(y1y2)24x1x24416，由图可知y1y20，所以y1y24.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1，k2.由(2)知，y1y24，x1x24，k1k21.OMON.【答案】(1)直线l的方程为yk(x2)(k
6、0)(2)由及y22x，消去y可得k2x22(2k21)x4k20.点M，N的横坐标x1与x2是的两个根，由韦达定理，得x1x24.由y2x1，y2x2，得(y1y2)24x1x24416，由图可知y1y20，所以y1y24.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1，k2.由(2)知，y1y24，x1x24，k1k21.OMON.练习 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）BCD【答案】练习2：抛物线C：x28y与直线y2x2相交于A，B两点，点P是抛物线C上异于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线
7、y2相交于点Q，R，O为坐标原点，则_【答案】201. 已知双曲线 的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为()【答案】2. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A. B. C. D. 【答案】A.3. 已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.【答案】D4. 抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_【答案】5. 曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_【答案】y5x36.已知一条曲
8、线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有0)，1，p2，方程为：y24x(x0)(2)假设存在M(m,0)(m0)当直线l斜率不存在时，l：xm，设交点A(m,2)，B(m，2)，(m1,2)，(m1，2)，m26m10，32m0恒成立，y1y2，y1y24m，又yy(y1y2)22y1y28m，(1)(1)y1y2(yy)y1y212m2(8m)4m12m26m1m26m1对k0恒成立，又0，m26m10恒成立，32m32，综上，m的取值范围是：32m
9、32._基础巩固（1）1.抛物线x2y的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】D2.已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为()A2B1C.D.【答案】A3点M(5，3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2【答案】D4已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则A点的横坐标为()A2B3C2D4【答案】B5已知P是抛物线y22x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1d2的
10、最小值是()A4B.C5D.【答案】B6. 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A.B3C.D2【答案】B7. 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.B.C.D.【答案】D能力提升（2）8若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的左顶点，则p_【答案】29 已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_【答案】x-y-1=010 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛
11、物线上，且满足0，则_【答案】011. 如图14，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则_图14【答案】1+12.已知动点P(x，y)(y0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度【答案】(1)依题意知，曲线C是以F(0,1)为焦点，y1为准线的抛物线焦点到准线的距离p2，曲线C方程是x24y.(2)圆M的半径为其方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2令y0得：x22ax4b40.则x1x22a，x1x24b4.(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2a)24(4b4)4a216b16.又点M(a，b)在抛物线x24y上，a24b，(x1x2)216，即|x1x2|4.线段EG的长度是4.
