1、专题12 数列大题专项训练一、巩固基础知识1已知数列是递增的等差数列，、成等比数列。(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求满足的最小的的值。【解析】(1)设的公差为()，由条件得：，解得，；(2)，由得，满足的最小值的的值为。2已知等比数列的前项和为，且()。(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时，当时，即，等比数列的公比是，即，故，故数列是首项为，公比为的等比数列，；(2)由(1)知，又，故，则， ，两式相减得，。3已知数列满足，为的前项和，。数列为等比数列且，。(1)求的值；(2)记，其前项和为，求证：。【解析】(1)由得数列为等差数列，设
2、公差为，则由，得：，解得，由且得；(2)设的公比为，由(1)可知，易知随着的增大而增大，。4已知数列是等比数列，其前项和是，且()。(1)求数列的通项公式；(2)设()，求数列的前项和。【解析】(1)，则，则，解得，；(2)，设，则，-得，。5已知等差数列的前项和为，、成等比数列。(1)求数列的通项公式；(2)若数列的公差不为，求证：(，)。【解析】(1)是等差数列，设公差为，、成等比数列， 解得或，或；(2)公差不为，令，当时，原式 。二、扩展思维视野6已知数列的前项和为，且(，)。(1)设，求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和。【解析】(1)由已知得，即()，()，又，且，故数列是首
3、项为、公比为的等比数列；(2)由(1)知，则，设， ，两式相减得：，解得，数列的前项和。7在公差不为的等差数列中，、成等比数列。(1)已知数列的前项和为，求数列的通项公式；(2)若，且数列的前项和为，若，求数列的公差。【解析】(1)设等差数列的公差为()，由、成等比数列可得：，即，即，由数列的前项和为得：，即，解得， 数列的通项公式为：；(2)，数列的前项和，又由(1)可知，即，即，即，解得或。8已知等差数列的前项和为()，数列是等比数列，满足，。(1)求数列和的通项公式；(2)令，设数列的前项和，求。【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为()， ，；(2)由(1)可得，则，即，当
4、为奇数时，当为偶数时，。9已知等差数列和等比数列，其中的公差不为，设是数列的前项和，若、是数列的前项，且。(1)求数列和的通项公式；(2)若数列为等差数列，求实数。【解析】(1)设的公差为，且，设的公比为，且，、是数列的前项，则，即，化简得，又，化简得，解得，、是数列的前项，则，(2)由(1)可知，数列为等差数列，即数列为等差数列， 设，则，则，(注意：正常数列是不允许代数的，但当已知数列是等差或等比的时候就可以代数了)则，化简得，解得、，当时，是首项为，公差为的等差数列，可取，当时，是首项为，公差为的等差数列，可取，综上实数可取或。三、提升综合素质10设为数列的前项和，已知，且。(1)求的通项公式；(2)若点在函数的图像上，求证：。【解析】(1)，且，且，数列为等比数列，且公比，解得，；(2)由(1)可得，点在函数的图像上，又，原式得证。11已知数列中，且。(1)求证：数列和都是等比数列；(2)求数列的前项和。【解析】(1)证明：，是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，为公比的等比数列，；(2)由(1)知；由解得，验证，适合上式，。12已知各项均为正数的数列的前项和为，且。(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求。【解析】(1)，即，当时，即，解得，当时，化简得，又数列各项均为正数，数列是首项为、公差为的等差数列，；(2)设，由(1)得，则 。
