1、专题08 选择性必修第一册综合练习一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线：(，)的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】双曲线：(，)的一个焦点坐标为，焦点在轴上，渐近线方程是，令()，则，双曲线方程为，故选D。2已知点为抛物线()上一点，则到其焦点的距离为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】把代入抛物线中，解得，则抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，故选A。3的顶点分别为、，则边上的高的长为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】、，则，点在直线上，设
2、，则，又，则，解得。，则，故选C。4如果、是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为、，是抛物线的焦点，若，则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题可知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线定义可知、，故，故选A。5正方体中，、分别为、上的点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】以为原点，、为轴、轴、轴建系，设，则由、可得：、，则，又与所成角为锐角，则异面直线与所成角的余弦值为，故选C。6如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】以、为、轴建系，设，则，由于平面，故与的长度之和为，故选D。7
3、如图，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使得、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】四面体为底面为等腰，顶点为的三棱锥，则，则，则平面，又，则为直角三角形，以为原点如图建系，则，设四面体的外接圆的圆心为，则，由空间两点间距离公式知：，解得，半径为，该球的表面积为，故选B。8已知、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设，由题意得，由双曲线定义得，由余弦定理得，当时，面积的最大值是，故选B。二、选择题：本题共4小题，每
4、小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9若、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是( )。A、B、若，则C、若，则 D、若，则【答案】ACD【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选ACD。10若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数( )。A、B、C、D、【答案】BD【解析】，解得或，时，符合，当时，符合，故选BD。11如图所示，设、分别是正方体的棱上两点，且、，其中正确的命题为( )。A、三棱锥的
5、体积为定值B、异面直线与所成的角为C、平面D、直线与平面所成的角为【答案】AD【解析】以为原点建系，设，则，A选项，为定值，故对，B选项，异面直线与所成的角与直线与所成的角为同一个角，即异面直线与所成的角的平面角为，故错，C选项，平面即平面的法向量为，设直线与平面所成的角的平面角为，则，则，故错，D选项，由C选项可知直线与平面所成的角为，故对，故选AD。12已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、【答案】AB【解析】(1)当时，设，则，设，由题意可知，则，代入得，即，解得，则，(2)当时，设，设
6、，则，由题意可知，则，则，则，代入得，即，解得，则，故选AB。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则 。【答案】【解析】由题意得内切圆的半径等于，因此的面积为，即，满足条件的点恰好有两个，为椭圆短轴端点，即，而，。14已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为 ，此时实数 。（本小题第一个空3分，第二个空2分）【答案】 【解析】直线的必过点为，斜率为，在轴上的截距为，且直线的必过点也为，斜率为，在轴上的截距为，且四边形的面积，四边形面积的最小值为，此时。15
7、如图所示，平行六面体中，则线段的长度是 。【答案】【解析】， ，。16已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为 。【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，的周长为，由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、共线，直线的方程为，即，代入整理得：，解得或舍)，点的纵坐标为，。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）若直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线。(1)求直线的方程；(2)求直线关于原点对称的直线方程。【解析】(1)由解得，由于点的坐标是， 2分又直线的斜率为，由直线与垂直可得， 4分故直线的方程为：，
8、即， 5分(2)又直线的方程在轴、轴上的截距分别是与， 7分则直线关于原点对称的直线在轴、轴上的截距分别是与， 9分所求直线方程为，即。 10分18（12分）已知等腰梯形如图1所示，其中，、分别为、的中点，且，为中点，现将梯形按所在直线折起，使平面平面，如图2所示，是线段上一动点，且。(1)当时，求证：平面；(2)当时，求二面角的余弦值。【解析】(1)证明：过点作于点，过点作于点，连接， 1分由题意，平面平面，平面，且， 2分，平面，由， 3分平面，又，即， 4分则，由平面，平面，平面； 5分(2)以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图建系，则， 6分设平面的法向量分别为，、则，取，
9、则、，即， 8分设平面的法向量分别为，、则，取，则、，即， 10分设二面角的平面角为，经观察为锐角，则，二面角的余弦值为。 12分19（12分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点。(1)证明为定值，并写出点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于、两点，过且与垂直的直线与圆交于、两点，求四边形面积的取值范围。【解析】(1)证明：，故，故， 1分又圆的标准方程为，从而， 2分由题设得，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，设：()， 3分则、，则轨迹的方程为()； 4分(2)当与轴不垂直时，设的方程为()，、，由得：，恒成立， 6分则， 7分过点且与垂直的直线：，到的
10、距离为， 8分，故四边形的面积， 9分可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为， 10分当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为， 11分综上，四边形面积的取值范围为。 12分20（12分）四棱锥中，平面，()，。(1)若，为的中点，求证：；(2)若，求平面与平面所成角的大小。【解析】(1)证明：连接，中，由余弦定理：，解得， 2分为直角三角形，又平面，平面， 3分平面，平面平面，又，为中点， 4分平面平面，平面，又平面，； 5分(2)由，可得，取中点，则为矩形，以为坐标原点分别以、所在直线为、轴，建立空间直角坐标系，则、， 7分平面，是平面的法向量， 8分设平面的法向量为，令，可得，解得，
11、10分设平面与平面所成角的平面角为，平面与平面所成角为。 12分21（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面， ，在边上。(1)求证：平面平面；(2)当是边上的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；(3)若二面角的大小为，求的长。【解析】(1)证明：底面是平行四边形，又，满足， 1分又底面，平面， 2分平面，平面平面； 3分(2)以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则、， 4分是边上的中点，则， 5分设直线与所成角的平面角为，； 6分(3)由，三点共线，得，且，从而有， 7分设平面的法向量为，令，则，可取， 10分又平面的法向量可取，二面角的大小为，。 12分22（12分）已知点是圆：上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称，线段的中垂线分别与、交于、两点。(1)求点的轨迹的方程；(2)直线经过，与抛物线交于、两点，与交于、两点，当以为直径的圆经过时，求。【解析】(1)由题意得，圆的半径为，且， 1分，点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 2分设：()，则、，则轨迹的方程为； 3分(2)当直线与轴垂直时，可取，又，此时，以为直径的圆不经过，不满足条件， 4分当直线不与轴垂直时，设：，由，得，恒成立，恒有两个交点， 6分设，则， 7分以为直径的圆经过，又，即，解得， 9分由得：，直线与抛物线有两个交点，设、，则， 11分。 12分