1、专题四电路与电磁感应第15讲 计算题对“三大观点解决电磁感应综合问题”的考查2下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练典型例题如图所示，一足够大的倾角 30的粗糙斜面上有一个粗细均匀的由同种材料制成的金属线框 abcd，线框的质量 m0.6 kg，电阻 R1.0，ab 边长 L11 m，bc 边长 L22 m，与斜面之间的动摩擦因数 39.斜面以 EF 为分界线，EF 上侧有垂直于斜面向上的匀强磁场一质量为 M 的物体用绝缘细线跨过光滑定滑轮与线框相连，连接线框的细线与斜面平行且线最初处于松弛状态现先释放线框再释放物体，当 cd 边离开磁场时线框以 v2 m/s 的速度匀速下滑，在 a
2、b 边运动到 EF位置时，细线恰好被拉直绷紧(时间极短)，随即物体和线框一起匀速运动，t1 s 后开始做匀加速运动取 g10 m/s2，求：3下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(1)匀强磁场的磁感应强度 B；(2)细绳绷紧前，M 下降的高度 H；(3)系统在线框 cd 边离开磁场至重新进入磁场过程中损失的机械能 E.知识串联(1)受力及动力学分析：线框 cd 边离开磁场时匀速下滑由平衡条件得：_(2)线框第二次匀速运动方向向上，其速度为_mgsin mgcos B2L21vR0v1L2t4下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练由平衡条件得_动量观点分析：绳突然绷紧过程中
3、，对线框和物体应用动量定理：对线框：I_对物体：I_.绳绷紧前 M 自由下落_FTmgsin mgcos B2L21v1R0FTMg0mv1m(v)Mv1Mv0v202gH5下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(3)能量守恒观点分析：线框匀速下滑过程中损失机械能E1_绳子绷紧过程中，损失机械能E2_线框匀速上滑过程中，损失的机械能E3_.mgL2sin 12Mv2012mv212(Mm)v21MgL2mgL2sin 6下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练考点 电磁感应中的动力学与电路的综合问题 1(2016高考全国卷)如图，两条相距 l 的光滑平行金属导轨位于同一水平面
4、(纸面)内，其左端接一阻值为 R 的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为 S 的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小 B1 随时间 t 的变化关系为 B1kt，式中 k 为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界 MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在 t0 时刻恰好以速度 v0 越过 MN，此后向右做匀速运动金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计求：7下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(1)在 t0 到
5、 tt0 时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；(2)在时刻 t(tt0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小8下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解析：(1)在金属棒越过 MN 之前，t 时刻穿过回路的磁通量为 ktS设在从 t 时刻到 tt 的时间间隔内，回路磁通量的变化量为，流过电阻 R 的电荷量为 q.由法拉第电磁感应定律有|t|由欧姆定律有 iR由电流的定义有 iqt联立可得|q|kSR t由可得，在 t0 到 tt0 的时间间隔内，流过电阻 R 的电荷量 q 的绝对值为|q|kt0SR 9下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(2)当 tt0 时，
6、金属棒已越过 MN，由于金属棒在 MN 右侧做匀速运动，有fF式中 f 是外加水平恒力，F 是匀强磁场施加的安培力设此时回路中的电流为 I，F的大小为FB0Il此时金属棒与 MN 之间的距离为 sv0(tt0)匀强磁场穿过回路的磁通量为 B0ls回路的总磁通量为 t10下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练式中，仍如式所示由可得，在时刻 t(tt0)穿过回路的总磁通量为tB0lv0(tt0)kSt在 t 到 tt 的时间间隔内，总磁通量的改变 t 为t(B0lv0kS)t由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为t|tt|由欧姆定律有 ItR11下页 末页 上页 首页 研考点提素
7、养专题限时训练联立可得f(B0lv0kS)B0lR 答案：(1)kt0SR (2)B0lv0(tt0)kSt(B0lv0kS)B0lR12下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练2(2016高考全国卷)如图，水平面(纸面)内间距为 l 的平行金属导轨间接一电阻，质量为 m、长度为 l 的金属杆置于导轨上t0 时，金属杆在水平向右、大小为 F 的恒定拉力作用下由静止开始运动t0 时刻，金属杆进入磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为.重力加速度大小为 g.求：(1)金
8、属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值13下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解析：(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为 a，由牛顿第二定律得Fmgma设金属杆到达磁场左边界时的速度为 v，由运动学公式有vat0当金属杆以速度 v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为EBlv联立式可得EBlt0Fmg 14下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆的电流为 I，根据欧姆定律IER式中 R 为电阻的阻值金属杆所受的安培力为fBlI因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得Fmgf0联立式得RB2l2t0m.
9、答案：(1)Blt0(Fmg)(2)B2l2t0m15下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练典例 1(2019江西重点中学联考)如图所示，aegikbfhjl 是两平行闭合导轨，间距L1 m，ae、bf 部分倾斜且与水平面的夹角 37，ek、fl 部分水平其中 hj 和 gi段为绝缘材料(电阻视为无穷大)，kl 段的电阻 R5，其余电阻均不计，ab 之间接有电容 C0.1 F 的电容器L15 m，L25 m，L3 未知，eflk 平面与地面的高度差h25 m在斜面和平面上均有垂直向上的磁场，磁感应强度大小 B1B2B1 T现有一根质量 m0.1 kg、电阻不计的导体棒 cd 从离平面
10、导轨 h13.6 m 处由静止释放，最后从 kl 处抛出，落地点距 kl 的水平距离 x2 m取 g10 m/s2，棒与 fh、eg 间的动摩擦因数均为 0.4，其余段均光滑16下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(1)若棒下滑过程中某时刻加速度大小为 a0，试推导安培力的表达式；(2)求棒到达 ef 处的速度大小 v1 和到达 ij 处的速度大小 v2；(3)求 L3 的值17下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练思路点拨 棒下滑，速度增大，感应电动势增大，不断地对电容器充电，电容器所带电荷量、电容器两极板间电压要变化，在很短的时间内，可认为平均加速度为瞬时加速度，用微
11、元法求解安培力；可根据牛顿第二定律推导出加速度是恒定的，结合运动学公式求解速度大小 18下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解析(1)棒的加速度大小为 a0 时，经很短的时间 t，通过棒某一横截面的电荷量用 q 表示，电容器两极板间电压改变量用 U 表示，棒的速度改变量用 v 表示，则电流 I qt，qCU，UBLv，a0vt，安培力 F 安BIL，解得 F 安CB2L2a0.(2)棒沿倾斜导轨下滑过程中，根据牛顿第二定律有 mgsin F 安 1ma1，即 mgsin CB2L2a1ma1，解得 a13 m/s2棒在倾斜导轨上做初速度为零的匀加速直线运动，则 2a1x1v210，
12、而 x1 h1sin，解得 v16 m/s，棒在 eg 段运动时，电容器放电，mgF 安 2ma2，即 mgCB2L2a2ma2，解得 a22 m/s2，而 2a2L1v21v22，解得 v24 m/s.19下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(3)棒离开水平导轨后做平抛运动，则 h212gt2，xv3t，解得 v32 m/s棒在 ik 段运动的过程中，由动量定理有B I 3Lt3mv3mv2，式中 I 3E 3R由法拉第电磁感应定律有 E 3BLL3t3，可知B2L2L3Rmv2mv3，解得 L31 m.答案(1)F 安CB2L2a0(2)v16 m/s v24 m/s(3)1
13、m20下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练思维拓展导体棒电容器模型是非纯电阻电路模型棒加速下滑，感应电动势发生变化，电容器两端电压发生变化，电荷量发生变化，由棒切割速度变化 v 联想到 UBLv，由 U 联想到 qCU，由 q 联想到 q I t，由 v 和 t 联想到 a vt，得 I CBL a，从已知瞬时加速度 a 联想到 t0 时 a a，I I，得 ICBLa，根据牛顿第二定律得 mgsin BILma，得 a mgsin mCB2L2，由于 a 是恒定的，可以根据匀变速直线运动规律处理相关物理问题21下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练典例 2(2019天津
14、和平区模拟)如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距 L0.5 m，左端接有阻值 R0.3 的电阻，一质量 m0.1 kg、电阻 r0.1 的金属棒 MN 放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度 B0.2 T棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以 a2 m/s2的加速度做匀加速运动，当棒运动的位移 x9 m 时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来已知撤去外力前回路中产生的焦耳热 Q12.025 J，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，求：22下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(1)棒在匀加速运动
15、过程中，通过电阻 R 的电荷量 q；(2)金属棒 MN 做匀加速运动所需外力随时间变化的表达式；(3)外力做的功 WF.23下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解析(1)棒在匀加速运动中，由法拉第电磁感应定律得 E t，其中 BLx由闭合电路的欧姆定律得 I ERr则通过电阻 R 的电荷量为 q I t联立各式，代入数据得 q2.25 C.24下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(2)由法拉第电磁感应定律得 EBLv对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得 vat由闭合电路的欧姆定律得 I ERr由安培力公式和牛顿第二定律得 FBILma得 F0.20.05t.(3)对棒的
16、匀加速运动过程由运动学公式得 v22ax撤去外力后，由动能定理得安培力做的功W012mv225下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练撤去外力后回路中产生的焦耳热 Q2W联立解得 Q21.8 J在棒运动的整个过程中，由功能关系可知WFQ1Q2解得 WF3.825 J.答案(1)2.25 C(2)F0.20.05t(3)3.825 J26下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练思维拓展本题难点是对金属棒做匀变速运动的理解，当金属棒做匀加速运动时，由 vat 可知速度随时间均匀增加，由 IBLvRrBLaRrt 可知感应电流也随时间均匀增加，由 F 安BILB2L2aRr t 可知
17、安培力也随时间均匀增加，即当导体棒的加速度 a 恒定时 vt 图线、I-t 图线、F 安-t 图线均为过原点的倾斜直线27下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练归纳总结应用动力学观点解决电磁感应问题的思路和方法(1)思路：明确电源，画出等效电路，判断电流方向或电势高低(2)抓住“两个对象”通过分析导体棒的受力情况和运动情况，建立力和运动之间的联系，计算稳定状态的物理量或对运动过程进行动态分析28下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练考点 电磁感应中的动量、能量综合问题 考向 1 双杆平动模型典例 3(2019安徽马鞍山二模)两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两
18、导轨间的距离为 L.导轨上放置两根导体棒 a 和 b，俯视图如图甲所示两根导体棒的质量均为 m，电阻均为 R，回路中其余部分的电阻不计，在整个导轨平面内，有磁感应强度大小为 B 的竖直向上的匀强磁场导体棒与导轨始终垂直接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，两棒均静止，间距为 x0，现给导体棒 a 一水平向右的初速度 v0，并开始计时，可得到如图乙所示的 vt 图象(v 表示两棒的相对速度，即 vvavb)29下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(1)试证明：在 0t2 时间内，回路产生的焦耳热 Q 与磁感应强度 B 无关(2)求 t1 时刻棒 b 的加速度大小(3)求 t2 时
19、刻两棒之间的距离30下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解析(1)t2 时刻开始，两棒速度相等，由动量守恒定律有 2mvmv0由能量守恒定律有 Q12mv2012(2m)v2解得 Q14mv20所以在 0t2 时间内，回路产生的焦耳热 Q 与磁感应强度 B 无关31下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(2)t1 时刻有 vavbv02回路中的电流 I E2RBLvaBLvb2R此时棒 b 所受的安培力 FBIL由牛顿第二定律得棒 b 的加速度大小a1FmB2L2v04mR32下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(3)t2 时刻，两棒速度相同，均为 vv020
20、t2 时间内，对棒 b，由动量守恒有B I Ltmv0根据法拉第电磁感应定律有 E t根据闭合电路欧姆定律有 I E2R而 BSBL(xx0)解得 t2 时刻两棒之间的距离 xx0mv0RB2L2.答案(1)见解析(2)B2L2v04mR (3)x0mv0RB2L233下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练思维拓展本题中导轨是等间距的，双棒受到的安培力是等大反向的，合力为零，双棒动量守恒若双棒分别放在不等间距的双轨上，双棒受到的安培力大小不相等，合力不为零，动量就不守恒了，这种情况下应对双棒分别运用动量定理列方程找关系34下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练典例 4(20
21、19山西晋中二模)如图所示，两根质量均为 m2 kg 的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为 12，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用 250 N 的水平拉力 F 向右拉 CD 棒，在 CD 棒运动 0.5 m 的过程中，CD 棒上产生的焦耳热为 30 J，此时 AB 棒和 CD 棒的速度分别为 vA 和 vC，且 vAvC12，立即撤去拉力 F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，求：(1)在 CD 棒运动 0.5 m 的过程中，AB 棒上产生的焦耳热；(2)撤去拉力 F 瞬间，两棒的速度 vA 和 vC
22、的大小；(3)撤去拉力 F 后，两棒最终做匀速运动时的速度 vA 和 vC 的大小35下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解析(1)设两棒的长度分别为 L 和 2L，电阻分别为 R 和 2R，由于电路在任何时刻电流均相等，根据焦耳定律 QI2Rt 可得 QAB12QCD15 J.(2)根据能量守恒定律有Fs12mv2A12mv2CQABQCD又 vAvC12解得 vA4 m/s，vC8 m/s.36下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(3)撤去拉力 F 后，AB 棒继续向左做加速运动，而 CD 棒开始向右做减速运动，两棒最终做匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产
23、生的感应电动势大小相等，此时两棒的速度满足 BLvAB2LvC即 vA2vC设 AB 棒和 CD 棒受到的安培力大小分别为 FA 和 FC，对两棒分别应用动量定理有FAtmvAmvA，FCtmvCmvC因为 FC2FA37下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解得vAvAvCvC12联立以上各式解得 vA6.4 m/s，vC3.2 m/s.答案(1)15 J(2)4 m/s 8 m/s(3)6.4 m/s 3.2 m/s38下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练思维拓展两导体棒不等长，则所受安培力大小不相等，系统的动量不守恒，应用动量定理综合其他的力学规律处理问题处理此类问
24、题的关键是分析两导体棒的运动过程，知道最终达到稳定状态时，两导体棒中产生的感应电动势大小相等、方向相反39下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练考向 2 线框在磁场中的平动模型典例 5 如图甲所示，倾角 30的足够长绝缘斜面上有一单匝矩形线框 abcd，其质量 m0.1 kg，电阻 R2.在斜面上以 MN 为水平边界的下方区域有垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为 B.现给线框一沿斜面向下的初速度 v0，线框运动一段时间后进入磁场，进入磁场后的速度 v 与位移 x 的关系图象如图乙所示(x 为线框ab 边偏离边界 MN 的位移)，线框与斜面间的动摩擦因数 33，线框运动过程中 ab
25、边始终与边界 MN 平行求：40下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(1)初速度 v0 的大小以及整个运动过程中线框产生的焦耳热 Q；(2)整个运动过程中，通过线框某横截面的电荷量 q.41下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练思路点拨(1)判断滑动摩擦力与重力沿斜面向下的分力的大小关系，根据能量守恒定律求 Q.(2)在很短的时间内，可近似认为线框做匀速直线运动，电流恒定，根据牛顿第二定律、加速度的定义式和闭合电路欧姆定律，结合图象斜率的物理意义求解 BL 的值，根据动量定理和电流的定义式求解电荷量 q.42下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练解析(1)由于
26、mgcos 33 mg 32 12mgmgsin，故线框进入磁场前做匀速直线运动由图乙知 ab 边刚进入磁场时的速度 v02 m/s，x0.4 m 时 v0在整个运动过程中，根据能量守恒定律分析可知线框产生的焦耳热 Q12mv20解得 Q0.2 J.43下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(2)线框进入磁场的过程中，在很短的时间 t 内，设线框速度变化量的大小为 v，位移大小为 x，则xvt设 ab 边的长为 L，根据牛顿第二定律有 BILma1由加速度的定义有 a1vt由闭合电路欧姆定律有 IBLvR解得vxB2L2mR44下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练结合图乙
27、有B2L2mR vx5 s1解得 BL1 N/A线框进入磁场后经过 x00.4 m 停了下来，说明线框的 bc 边的边长 L10.4 m根据动量定理有B I Lt00mv0通过线框某横截面的电荷量 q I t0解得 qmv0BL 0.2 C.答案 见解析45下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练思维拓展求第(2)问另解：先根据动量定理列方程，推导出 vx 的关系式，再结合图象斜率的物理意义求解，即B I Ltmvmv0，又 I BL vR，x v t，得 vB2L2mR xv0；结合图乙有B2L2mR 5 s1，qR BLx0R，解得 q0.2 C.46下页 末页 上页 首页 研考点
28、提素养专题限时训练归纳总结处理电磁感应与动量和能量综合问题的思路(1)从动量角度着手，运用动量定理或动量守恒定律应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量，如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒解决此类问题往往要应用动量守恒定律47下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练(2)从能量转化和守恒着手，运用动能定理或能量守恒定律利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功其他形式的能量 克服安培力做功电能 电流做功焦耳热或其他形式的能量利用能量守恒定律求解：若只有电能与机械能参与转化，则机械能的减少量等于产生的电能利用电路的相关公式电功公式或电热公式求解：若通过电阻的电流是恒定的，可直接利用电功公式或焦耳定律求解焦耳热48下页 末页 上页 首页 研考点提素养专题限时训练专题限时训练