1、单元综合测试一(第一章)时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知实数1，x，y，z，2成等比数列，则xyz等于(C)A4B4C2D2解析：因为y2xz(1)(2)2，所以y(y不合题意，舍去)，所以xyz2.2有穷数列1,23,26,29，23n6的项数是(C)A3n7B3n6Cn3Dn2解析：此数列的次数依次为0,3,6,9，3n6，为等差数列，且首项a10，公差d3，设3n6是第x项，3n60(x1)3，所以xn3.故选C.3等差数列an的公差不为零，首项a11，a
2、2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A90B100C145D190解析：设公差为d，所以(1d)21(14d)，因为d0，所以d2，从而S10100.4设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5(B)A. B.C. D.解析：a2a4a1，a31，S37，q1，两式相比7，q或q(舍去)，即a14.S5，故选B.5在正项数列an中，a12，点(，)(n2)在直线xy0上，则数列an的通项公式an为(C)A2n1B2n11C2nD2n1解析：据题意得0，即an2an1，所以an22n12n.6已知数列an中，a1b(b0)，an1(nN)，能
3、使anb的n可以等于(C)A14B15C16D17解析：由题可知，a1b，a2，a3，a4b.所以数列an是以3为周期的周期数列，观察四个选项可知C正确7已知Sn是等差数列an的前n项和，下列选项中不可能是Sn的图像的是(D)解析：因为Sn是等差数列an的前n项和，所以设Snan2bn(a，b为常数，nN)，则其对应函数yax2bx的图像是过原点的一条曲线当a0时，该曲线是过原点的直线，如选项C；当a0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意选D.8数列an满足递推公式an3an13n1(n2)，又a15，则使得为等差数列的实数等于(C)A2B5C D.解析
4、：a15，a223，a395，令bn，则b1，b2，b3，因为b1b32b2，所以.9数列an的通项公式为an，已知它的前n项和Sn6，则项数n等于(C)A6B7C48D49解析：将通项公式变形得an，则Sn()()()()1，由Sn6，则有16，故n48.10对于正项数列an，定义Gn为数列an的“匀称”值已知数列an的“匀称”值为Gnn2，则该数列中的a10等于(D)A2 B.C1 D.解析：因为Gn，数列an的“匀称”值为Gnn2，所以a12a23a3nann(n2)，所以n2时，a12a23a3(n1)an1(n1)(n1)，得nan2n1，所以an，n2，当n1时，a1G13满足上式
5、所以an，a10.第卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11若数列an满足：a11，an12an(nN)，则a516；前8项的和S8255(用数字作答)解析：由a11，an12an(nN)知an是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n项和公式知a5a1q416，S8255.12设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有，则的值为.解析：.13已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a21，Sn(n2n)解析：由a1，S2a3得，a1a2a3，即a3a2，an是以a1为首项，以为
6、公差的等差数列an(n1)n.a21，Sn(a1an)n2n(n2n)14数列an满足an1，a82，则a1.解析：因为an1，所以an1111(1an2)an2，所以周期T(n1)(n2)3.所以a8a322a22.而a2，所以a1.15给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a555，则表中所有数之和为405.a11a12a19a21a22a29a91a92a99解析：S(a11a19)(a91a99)9(a15a25a95)99a55405.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(
7、本小题满分12分)已知等差数列an(nN)满足a12，a36.(1)求该数列的公差d和通项公式an；(2)设Sn为数列an的前n项和，若Sn2n12，求n的取值范围解：(1)由题意得d2，所以ana1(n1)d2n，nN.(2)Snnn2n，由Sn2n12，解得n4或n3.所以n4且nN.17(本小题满分12分)已知an为等差数列，且a36，a60.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a36，a60，所以解得所以an10(n1)22n12.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a1a2a324，b1
8、8，所以8q24，即q3.所以数列bn的前n项和为4(13n)18(本小题满分12分)数列an中，a1.前n项和Sn满足Sn1Sn()n1(nN)(1)求数列an的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差数列，求实数t的值解：(1)由Sn1Sn()n1得an1()n1(nN)，又a1，故an()n(nN)，从而Sn1()n(nN)(2)由(1)可得S1，S2，S3，由S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差数列可得，3()2()t，解得t2.19(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1.(1
9、)求数列an和bn的通项公式(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n22(n1)24n2，a12符合上式，故an的通项公式为an4n2，设bn的公比为q，则b12，b2，q，bnb1qn12，即bn.(2)cn(2n1)4n1，Tnc1c2cn1341542(2n1)4n1，4Tn14342543(2n3)4n1(2n1)4n，两式相减，得3Tn12(4142434n1)(2n1)4n(6n5)4n5，Tn(6n5)4n520(本小题满分13分)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改
10、造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年记为第一年)的利润为500万元(n为正整数)(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：(1)依题意，设An(50020)(50040)(50020n)490n10n2；Bn500(1)(1)(1)600500n100.(2)BnAn(49
11、0n10n2)10n210n10010.函数yx(x1)10在(0，)上为增函数，当1n3时，n(n1)1012100，即Bn0，即BnAn.当n4时，BnAn.故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润21(本小题满分14分)设等差数列an的前n项和为Sn，且Snnananc(c是常数，nN)，a26.(1)求c的值及数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，若2Tnm2对任意nN恒成立，求正整数m的最大值解：(1)因为Snnananc，所以当n1时，S1a1a1c，解得a12c.当n2时，S2a2a2c，即a1a2a2a2c.解得a23c，所以3c6，解得c2.则a14，数列an的公差da2a12.所以ana1(n1)d2n2.(2)因为bn，所以Tn，Tn，由可得Tn1，所以Tn2.因为Tn1Tn0，所以数列Tn单调递增，T1最小，最小值为.所以2m2.所以m3，故正整数m的最大值为2.