1、等比数列的综合应用A级基础巩固一、选择题1已知等比数列an中，公比q是整数，a1a418，a2a312，则此数列的前8项和为(D)A514B513C512D510解析由已知得，解得q2或.q为整数，q2.a12.S8292510.2已知等比数列an的前n项和为Sn，S33，S627，则此等比数列的公比q等于(A)A2B2CD解析得9，解得q38.q2，故选A3已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于(C)A6(1310)B(1310)C3(1310)D3(1310)解析本题考查等比数列的定义，前n项和的求法3an1an0，q，a2a1qa1，a14.S103(1310)4在
2、各项为正数的等比数列中，若a5a4576，a2a19，则a1a2a3a4a5的值是(B)A1 061B1 023C1 024D268解析由题意得a4(q1)576，a1(q1)9，q364，q4，a13，a1a2a3a4a51 023.5等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C则(D)AABCBB2ACC(AB)CB2DA2B2A(BC)解析若数列an是等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列由SnA，S2nSnBA，S3nS2nCB，得(BA)2A(CB)，A2B2A(BC)6等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于(C)A
3、6B5C4D3解析本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和、对数的运算性质根据条件可知，等比数列的通项公式是an2()n4，设bnlganlg2(n4)lg，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S84.在等比数列中任意两项的关系时anamqnm，一个各项为正的等差数列，取对数后所得到的数列是等差数列二、填空题7设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an 3n1 .解析3S1,2S2，S3成等差数列，22(a1a2)3a1a1a2a3，a33a2，q3.又等比数列an，ana1qn13n1.8已知数列an中，an，则a9 256 .设数列
4、an的前n项和为Sn，则S9 377 .解析a928256，S92022242628371115377.三、解答题9已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解析(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1,2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1，从而bn3n2n1(n1,2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1,2，)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以，数
5、列bn的前n项和为n(n1)2n1.10已知数列an是等差数列，且a12，a1a2a312.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnan3n，求数列bn的前n项和公式解析(1)设数列an的公差为d，则a1a2a33a13d12，又a12，得d2，an2n.(2)由bnan3n2n3n，得Sn23432(2n2)3n12n3n3Sn232433(2n2)3n2n3n1得2Sn2(332333n)2n3n1 3(3n1)2n3n1，所以Snn3n1.B级素养提升一、选择题1已知等比数列an中，公比q，且a1a3a5a9960，则a1a2a3a100(B)A100B90C120D30解析a2a4a6
6、a100a1qa3qa5qa99qq(a1a3a5a99)6030a1a2a3a100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)603090.2设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则(B)A2BCD3解析3，S63S3，2，S3，S6S3，S9S6成等比，22，S94S3S67S3，选B3等比数列an前n项和为Sn3n2k，则实数k的值为(D)ABCD解析Sn3n2k3nk.由等比数列前n项和公式的特征知k.4数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6(A)A344B3441C45D451解析该题考查已知一个数列的前n项和Sn与an1的关系，求通项公式an.注意的问
7、题是用anSnSn1时(n2)的条件an13Snan3Sn1得an1an3Sn3Sn13an，即an14an，4.(n2)当n2时，a23a13，34，an为从第2项起的等比数列，且公比q4，a6a2q4344.二、填空题5某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于 6 .解析本题考查等比数列通项公式，前n项和公式等记第一天植树a12，则第n天为an2n，这n天总共植树Sn2(2n1)，令Sn100得n6，所以最少要6天本题为填空题，利用列举法更简单6已知一个等比数列的首项是1，项数是偶数，所有奇数项的和是85，所有偶数
8、项的和是170，则此数列共有 8 项解析设该数列共有n项，公比为q，则由题意可得q2.又SnS偶S奇17085255，所以255，解得n8.三、解答题7等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn.所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.8已知数列an和bn中，数列an的前n项和为Sn.若点(n，Sn)在函数yx24x的图像上，点(n，bn)在函数y2x的图像上(1)求数列an的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解析(1)由已知得Snn24n，当n2时，anSnSn12n5，又当n1时，a1S13，符合上式an2n5.(2)由已知得bn2n，anbn(2n5)2n.Tn321122(1)23(2n5)2n，2Tn322123(2n7)2n(2n5)2n1.两式相减可得Tn6(23242n1)(2n5)2n1(2n5)2n16(72n)2n114.