1、第一章单元质量评估第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1数列3,5,9,17,33，的通项an(B)A2n B2n1C2n1 D2n12用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式(B)A12 B12C13 D11知n的第一个值为2，此时不等式为12，故选B.3用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为(C)A1 B2C3 D4解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n03.4用反证法证明命题“若关于x的方程ax2bxc0(a0，a，b，cZ)有有理根，那么a，b，c中至少有一个
2、是奇数”时，下列假设正确的是(B)A假设a，b，c都是奇数B假设a，b，c都不是奇数C假设a，b，c至多有一个奇数D假设a，b，c至多有两个奇数解析：命题“a，b，c中至少有一个是奇数”的否定是“a，b，c都不是奇数”，故选B.5类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论(D)垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行A BC D解析：显然正确中空间内垂直于同一条直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D正
3、确6已知函数f(x)5x，则f(2 014)的末四位数字为(B)A3 125 B5 625C0 625 D8 125解析：因为f(5)553 125的末四位数字为3 125，f(6)5615 625的末四位数字为5 625，f(7)5778 125的末四位数字为8 125，f(8)58390 625的末四位数字为0 625，f(9)591 953 125的末四位数字为3 125，故周期T4.又由于2 01450342，因此f(2 014)的末四位数字与f(6)的末四位数字相同，即f(2 014)的末四位数字是5 625.7如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪
4、烁，下一个呈现出来的图形是(A)解析：该五角星花灯每一次变化相当于按顺时针方向旋转2个角，故下一个呈现出来的图形是A.8设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是(D)A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)0，则的值(B)A一定是正数 B一定是负数C可能是0 D以上均有可能解析：(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又abc0，a，b，c均不为0，a2b2c20，abbcca0，0，ac0，bc0，则f(a)f(b)f(c)的值(A)A一定大于0 B一定等于0C一定小于0 D正负
5、都有可能解析：yx3与yx在R上均为增函数，f(x)在R上是增函数又ab0，ab，f(a)f(b)，又f(x)x3x是奇函数，f(a)f(b)，即f(a)f(b)0.同理，f(b)f(c)0，f(c)f(a)0，f(a)f(b)f(c)0，故选A.12. 在f(m，n)中，m，n，f(m，n)N*，且对任意m，n都有：(1)f(1,1)1；(2)f(m，n1)f(m，n)2；(3)f(m1,1)2f(m,1)给出下列三个结论：f(1,5)9；f(5,1)16；f(5,6)26.其中正确结论的个数是(A)A3 B2C1 D0解析：f(m，n1)f(m，n)2，f(m，n)构成首项为f(m,1)，
6、公差为2的等差数列，f(m，n)f(m,1)2(n1)又f(1,1)1，f(1,5)f(1,1)2(51)9.又f(m1,1)2f(m,1)，f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，f(m,1)f(1,1)2m12m1，f(5,1)25116，f(5,6)f(5,1)2(61)161026，都正确，故选A.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18.解析：由类比思想，面积比是边长比的平
7、方，体积比是棱长比的立方14设S(n)，则S(n)有n2n1项，S(2).解析：分析分母即得项数S(2).15若符号“*”表示求实数a与b的算述平均数的运算，即a*b，如果用含有运算符号“*”和“”的式子表示a(b*c)，要求是一种乘积形式，则a(b*c)(ab)*(ac)解析：a(b*c)a(ab)*(ac)16已知集合a，b，c0,1,2，且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于201.解析：可分下列三种情形；(1)若只有正确，则a2，b2，c0，所以ab1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(2)若只有正确，则b2，a2，c0，这与集合元素的
8、互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(3)若只有正确，则c0，a2，b2，所以b0，c1，所以100a10bc10021001201.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知0a1，求证：9.证明：0a0.要证9成立，只需证1a4a9a(1a)，即证9a26a10，即证(3a1)20，该式显然成立，故9成立18(12分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点证明：假设题设中的函数确定的抛物线与x轴都最多有一个交点由yax22bxc，yb
9、x22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.不等式相加得4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ac0，(ab)2(bc)2(ac)20，abc，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证19(12分)已知，k(kZ)且sincos2sin，sincossin2.求证：.证明：要证成立，只需证，即证cos2sin2(cos2sin2)，即证12sin2(12sin2)，即证4sin22sin21.因为sincos2sin，所以(sincos)212sincos4sin2，又sincos
10、sin2，所以12sin24sin2，得4sin22sin21.故原结论得证20(12分)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1.又B1CA1B，且A1BBC1B，A1B，BC1平面A1BC1，所以B1C平面A1BC1，而B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.(2)如图，设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线因为A1B平面B1CD，DE平面B1CD
11、，所以A1BDE.因为侧面BCC1B1是菱形，B1C与BC1交于点E，所以E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1DDC11.21(12分)设an1(nN)，是否存在n的整式，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)对大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论解：假设g(n)存在，探索g(n)当n2时，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，得g(2)2；当n3时，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，得g(3)3；当n4时，同理可得g(4)4.当此猜想g(n)n(n2且nN)利用数学归纳法证明：a1a2an1n(an1)(n2，且nN)(1)当n2时，结论成立(2)假设当nk
12、(k2)时，等式成立，即a1a2ak1k(ak1)则当nk1时，左式a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk，右式(k1)(ak11)(k1)(k1)akk，左式右式，即等式成立综合(1)、(2)得，结论成立22(12分)阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sincoscossin，sin()sincoscossin，由，得sin()sin()2sincos，令A，B，有，代入，得sinAsinB2sincos.(1)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosAcosB2sinsin；(2)若ABC的三个内角A，B，C满足cos2Acos2B2sin2C，
13、试判断ABC的形状解：(1)证明：cos()coscossinsin，cos()coscossinsin，得cos()cos()2sinsin.令A，B，有，代入，得cosAcosB2sinsin.(2)方法1：cos2Acos2B2sin2C，可化为12sin2A12sin2B2sin2C，即sin2Asin2Csin2B.设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2c2b2.根据勾股定理的逆定理知ABC为直角三角形方法2：利用(1)中的结论，cos2Acos2B2sin2C可化为2sin(AB)sin(AB)2sin2C，因为A，B，C为ABC的内角，所以ABC，所以sin(AB)sin(AB)sin2(AB)又因为0AB，所以sin(AB)0，所以sin(AB)sin(AB)0，从而2sinAcosB0，又因为sinA0，所以cosB0，即B.所以ABC为直角三角形