1、章末质量评估(二)平面向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2012江油市测试)若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是()A.与共线B.与相等C.与模相等，方向相反D.与模相等解析四边形ABCD是矩形，故A，D正确；ACBD但与的方向不同，故B不正确；ADCB且ADCB，与的方向相反，故C正确答案B2已知两点A(2，1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是()Aa(1，2) B.a(9,3)Ca(1,2) D.a(4，8)解析(1,2)，a(4，8)4(1,2)4，D正确
2、答案D3已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为()A3 B.3 C0 D.2解析由原式可得解得xy3.答案A4向量(4，3)，向量(2，4)，则ABC的形状为()A等腰非直角三角形 B.等边三角形C直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形解析(2，1)，22(1)(4)0，.又|B|，ABC是直角非等腰三角形答案C5(2012丰台测试)如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是()A.B.C.D.解析，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误答案C6设向量a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，用a，b作基底可将c表示为cpaqb，则实数p，
3、q的值为()Ap4，q1 B.p1，q4Cp0，q4 D.p1，q4解析c(3，2)paqb(pq,2pq)，解之得答案B7已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是()A(4,8) B.(8,4)C(4，8) D.(4,8)解析a(1，2)(4,8)即b4a，b可能是(4,8)答案D8已知ab12，|a|4，a与b的夹角为135，则|b|()A12 B.3 C6 D.3解析12|a|b|cos 135，且|a|4，故|b|6.答案C9关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是()A船垂直到达对岸所用时间最少B当船速v的方向与河垂直时用时最少C沿任意直线运动到达对岸的时
4、间都一样D以上说法都不正确解析根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少答案B10设02，已知两个向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，则向量长度的最大值是()A. B. C3 D.2解析(2sin cos ，2cos sin )，|3.答案C11点O是ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点解析，0.0.OBAC.同理OABC，OCAB，O为垂心答案D12如图所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是()A2 B.
5、0 C1 D.2解析由平行四边形法则得2，故()2，又|2|，且、反向，设|t(0t2)，则()22t(2t)2(t22t)2(t1)210t2，当t1时，()的最小值为2，故选D.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)13给出下列四个结论：若a0，且abac，则bc；若|ab|a|b|，则ab；在ABC中，a5，b8，c7，则20；设A(4，a)，B(6,8)，C(a，b)，若OABC是平行四边形(O为原点)，则AOC，其中正确的序号是_(请将你认为正确的结论的序号都填上)解析由于两个非零的向量有可能互相垂直，故错；由|ab|a|b|可知cos
6、ab1，ab，故正确；cos C，5820，故错；由OABC是平行四边形可得a2，b6，则cosAOC，AOC，故正确答案14如图，圆O的半径为1，点A，B，C是圆O上的点，且AOB30，2，则_.解析AOB30，2，AOC2AOB60.()11cos 6011cos 30.答案15(山东临沂高一检测)已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则a2e1e2和b2e23e1的夹角是_解析设a与b的夹角为，ab(2e1e2)(2e23e1)6e122e22e1e26211.|a|.|b|.cos .又0180，120.答案12016关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc；若a
7、(1，k)，b(2,6)，ab，则k3；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析当a0时，不成立；对于，若ab，则2k6，k3，成立；对于，由于|a|b|ab|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图BAD60，ab，由菱形的性质可知，a与ab的夹角为BAC30.答案三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足20，(1)用，表示；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形解(1)20，2()(
8、)0，220，2.(2)如图，(2)故.故四边形OCAD为梯形18(本小题满分12分)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)求|a|的值；(2)求证：ab与ab互相垂直(1)解a(cos ，sin )，|a|1.(2)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，ab与ab互相垂直19(本小题满分12分)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.解(1)(2a3b)(2ab)61，4a24ab3b261，即644ab2761.ab6.cos ，120.(2)|ab|，|ab|.20(本小题满分12分)
9、已知向量a，b不共线，ckab，dab.(1)若cd，求k的值，并判断c，d是否同向；(2)若|a|b|，a与b夹角为60，当k为何值时，cd.解(1)cd，故cd，即kab(ab)又a，b不共线，得即cd，故c与d反向(2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos 60，又cd，故(k1)a2a20.即(k1)0.解得k1.21(本小题满分12分)如图，(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积解(1)(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，(x4,2y)又，(
10、x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)(6,1)(x，y)(x6，y1)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，且，0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.又由(1)的结论x2y0，(62y)(2y2)(y1)(y3)0.化简，得y22y30.y3，或y1.当y3时，x6.于是有(6,3)，(0,4)，(8,0)|4，|8.S四边形ABCD|16；当y1时，x2.于是有(2，1)，(8,0)，(0，4)|8，|4.S四边形ABCD|16.或S四边形ABCD16.22(本小题满分12分)设a、b是两个不共线的非零向量，(1)记a，tb，(ab)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|b|1且a与b的夹角为120，那么实数x为何值时，|axb|的值最小？解(1)a，tb，(ab)，tba，ba.若A、B、C三点共线，则.tbaba，解得当t时，A、B、C三点共线(2)|axb| .当x时，|axb|最小，最小值为.