1、第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2个B3个C4个D5个答案C解析|a|b|ab|a与b的夹角为，故是充分不必要条件，不正确b为非零向量，故不正确2211，故不正确正确不正确2在
2、正三棱柱ABCA1B1C1D1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60 B90 C105 D75答案B解析建立空间直角坐标系，可求0，故成90.3已知ABC，c，b，a，用向量a，b，c的数量积的形式表示ABC为锐角三角形的充要条件是()Abc0，ac0Bab0，bc0，ac0Cab0Dab0，bc0，ac0答案D解析由数量积的意义知D成立4已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DBAC，DCAB，则点D的坐标为()A(1,1,1)B(1,1,1)或(1，1，1)C(，)D(，)或(1，1,1)答案A解析代入坐标运算得D(1,1,1)，
3、故选A.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为()A30 B45 C60 D90答案C解析A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，(0,3,3)，(1,1,0)cos，选C.6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么AM与CN所成的角的余弦值是()A. B.C. D.答案D解析以D为坐标原点、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(0，1)，(1,0，)，cos(用基向量表示亦可)7下面命题中，正确命题的个数为()若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则
4、n1n20；若n是平面的法向量且a与共面，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直A1个 B2个 C3个 D4个答案D解析均正确，故选D.8直线l1的方向向量v1(1,0，1)；直线l2的方向向量v2(2,0,2)，则直线l1 与l2的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或重合答案D解析v22v1，l1l2或l1与l2重合9如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是()A. B. C. D2答案D解析以、为x轴，y轴，z轴的正向建立直角坐标系，则M(，0,3)，N(0，3)，A(0,0,0)，n
5、(2,2，1)，(3,0,0)，d2，故选D.10如右图所示，正方体ABCDABCD中，M是AB的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.答案B解析以DA，DC，DD所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1，0)，则(1,1,1)，(1，0)，cos，则sin，.11在棱长为a的正方体OABCOABC中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF，则异面直线AF与CE所成角的大小为()A锐角 B直角 C钝角 D不确定答案B解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设AEBFx，则A(a,0，a)、F
6、(ax，a,0)、C(0，a，a)、E(a，x,0)，(x，a，a)，(a，xa，a)，xaa(xa)a20，AFCE.12如图，四面体PABC中，PC面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BPAC的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析如图，作BDAP于D，作CEAP于E，设AB1，则易得CE，EP，PAPB，AB1，可以求得BD，ED.，222222.cos，.cos，.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13设|m|1，|n|2,2mn与m3n垂直，a4mn，b7m2n，则a，b_.答案0解析由于(2mn)(m3n)0，可得：mn2，则：ab(4
7、mn)(7m2n)18.|a|6，|b|3，cosa，b1，a，b0.14边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角BADC为60，点D到平面ABC的距离为_答案解析如图所示，AD面BCD，AD，BDCDBC，VABCDADSBCD.又VABCDVDABChSABC，由等积法可解得h.15如图所示，在三棱锥PABC中，PAPBPCBC，且BAC90，则PA与底面ABC所成的角为_答案60解析由于PAPBPC，故P在底面ABC上的射影为ABC外心，由于ABC为直角三角形，不妨设OBOC，所以OP面ABC，PAO为所求角，不妨设BC1，则OA，cosPAO，所以PAO60.
8、16已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数、m、n使mn0，那么mn的值等于_答案0解析由mn0，得.根据空间直线的向量参数方程有1mnmn0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量解析建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是(1,1,2)(2,2,0)，(2，0,1)，由于220，及220，.ACAP
9、A，平面PAC，即是平面PAC的法向量18(本小题满分12分)(2009陕西)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60.(1)证明：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的大小解析(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1AB，AA1AC.在ABC中，AB1，AC，ABC60，由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)，1000()0，ABA1C.(2)解：如图，可取m(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n
10、(l，m，n)，则n0，n0，又(1，0)，lm，nm.不妨取m1，则n(，1,1)cosm，n，二面角AA1CB的大小为arccos.19(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCDA1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中BAEGAD45，AB2AD2，BAD60.(1)求证：BD平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值解析(1)证明：在BAD中，AB2AD2，BAD60，由余弦定理得，BD，AB2AD2BD2，ADBD，又GD平面ABCD，GDBD，GDADD，BD平面ADG，(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
11、Dxyz，则有A(1,0,0)，B(0，0)，G(0,0,1)，E(0，2)，(1,0,1)，(1，2)，设平面AEFG法向量为m(x，y，z)，则，取m(1，1)，平面ABCD的一个法向量n(0,0,1)，设平面AEFG与面ABCD所成锐二面角为，则cos.20(本小题满分12分)(2008江苏)如图，设动点P在棱长为1正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记.当APC为钝角时，求的取值范围解析由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)由(1 ,1，1)得(，)，所以(，)(1,
12、0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于cosAPCcos0，这等价于0，即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0，得1.因此，的取值范围为.21(本小题满分12分)(2009山东)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点(1)证明：直线EE1平面FCC1；(2)求二面角BFC1C的余弦值解析(1)因为F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1，FC
13、CC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.(2)过D作DRCD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)所以(0,2,0)，(，1,2)，(，3,0)由FBCBCDDF，所以DBFC.又CC1平面ABCD，所以为平面FCC1的一个法向量设平面BFC1的一个法向量为n(x，y，z)，则由得即取x1得，因此n，所以cos.故所求二面角的余弦值为.22(本小题满分14分)已知长方体AC1中，棱ABBC3，棱BB14，连接B1C，
14、过点B作B1C的垂线交于CC1于E，交B1C于F.(1)求证：A1C平面EBD；(2)求点A到平面A1B1C的距离；(3)求ED与平面A1B1C所成角的正弦值解析(1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，设|CE|a，则C(3,3,0)，B1(3,0,4)，A1(0,0,4)，B(3,0,0)，D(0,3,0)设E(3,3，a)，则(3,3，4)，(0,3，4)，(3,3,0)，(0,3，a)由BEB1C，知0，即0033a(4)0.a.E(3,3，)，(0,3，)，0，0，A1CBE，A1CBD.又BEBDB，A1C平面EBD.(2)易证A1B1BE，可看作平面A1B1C的法向量n(0,3，)，(3，3,0)点A到平面A1B1C的距离d.(3)(3,0，)，设ED与平面A1B1C所成角为.则sin即ED与平面A1B1C1所成角的正弦值为.