1、2.2.3椭圆习题课一、选择题1已知椭圆的焦点是F1，F2是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支 D抛物线答案A解析|PF1|PF2|2a，|PQ|PF2|，|PF1|PF2|PF1|PQ|2a，即|F1Q|2a，动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆故选A.2如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A(0,1) B(1,2)C(0,2) D(0,1答案A解析椭圆方程化为1.焦点在y轴上，则2，即k0，0kb0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c，则PQF面积的最大值是()
2、A.abBabCacDbc答案D解析设它的另一个焦点为F，则|FO|FO|，|PO|QO|，FPFQ为平行四边形SPQFSPFQFSPFF，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF距离最大，此时SPFF最大为bc.即(SPQF)maxbc.5椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A7倍B5倍C4倍 D3倍答案A解析不妨设F1(3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，)，即|PF2|，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a4，|PF1|，|PF2|，即|PF1|7|PF2|.6设0cos0.在第二象限且|sin|cos|.7已知椭圆1的左、右焦
3、点分别为F1、F2，点P在椭圆上若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A.B3C.D.答案D解析a216，b29c27c.PF1F2为直角三角形P是横坐标为的椭圆上的点(点P不可能为直角顶点)设P(，|y|)，把x代入椭圆方程，知1y2|y|.8(2009江西)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算把xc代入椭圆方程可得yc，|PF1|PF2|，故|PF1|PF2|2a，即3b22a2又a2b2c2，3(a2c2)2a2，()2，即
4、e.9(2009山东威海)椭圆1上有n个不同的点P1、P2、Pn，椭圆的右焦点为F，数列|PnF|是公差大于的等差数列，则n的最大值是()A2 000 B2 006C2 007 D2 008答案A解析椭圆1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(2,0)，数列|PnF|的公差d大于，不妨|P1F|1，|PnF|3,31(n1)d，d，n12 000，即nb0)|PF1|PF2|2|F1F2|，2a4.a2，又c1，b23，方程为1.12设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|1，则cosF1PF2_.答案解析|PF
5、1|PF2|4，又|PF1|PF2|1，|PF1|，|PF2|，|F1F2|2，cosF1PF2.13已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e，则长轴的取值范围为_答案(2,4解析由e21得01.从而1，1，故1a24，1a2，即2b0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是_，焦点坐标是_答案1(1,0)解析由|AF1|AF2|2a4得a2.原方程化为：1，将A(1，)代入方程得b23.椭圆方程为：1，焦点坐标为(1,0)三、解答题15已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A、B，与y
6、轴交点为C，又B为线段CF1的中点，若|k|，求椭圆离心率e的取值范围解析设l：yk(xc)则C(0，kc)，B(，)B在椭圆上，1.即1e24.k22e417e280e21e0，2mb0)，当PQx轴时，F(c,0)，|FP|.又|FQ|FP|，且OPOQ，|OF|FP|，即c，aca2c2，e2e10.e.与题设e不符，所以PQ不垂直于x轴，设PQ所在直线方程为yk(xc)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，e，a2c2，b2c2.椭圆方程可化为3x212y24c20.将PQ所在直线方程代入，得(312k2)x224k2cx12k2c24c20.由韦达定理，得x1x2，x1x2.由|PQ|，得.OPOQ，1，即x1x2y1y20，(1k2)x1x2k2c(x1x2)c2k20，联立解得c23，k2.a24，b21.故椭圆方程为y21.