1、第一章 数 列4 数列在日常经济生活中的应用1零存整取零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为 P 元，每月利率为 r，存期为 n 个月，则到约定日期后 SP(1nr)2定期自动转存如果储户存入定期为 1 年的 P 元存款，定期年利率为 r，连存n 年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存n年后，本利和为 S3分期付款问题贷款 a 元，分 m 个月将款全部付清，月利率为 r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款金额为：P(1r)nar（1r）m（1r）m1判断(正确的打“”，错
2、误的打“”)(1)以符号 P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和，若按单利计算，则 SP(1r)n.()(2)“零存整取”到约定日期取出的本利和，是按复利计算的()(3)本金 3 000 元，每月复利一次，一年后得到本利和 3 380 元，月利率是 1%.()小蕾 2017 年 1 月 31 日存入银行若干万元，年利率为 1.98%，到 2018 年 1 月 31 日取款时，银行按国家规定扣除了利息税(税率为 20%利息税占利息的百分数)138.64 元，则小蕾存入银行的本金约为()A1 万2 万 B2 万3 万C3 万4 万D4 万5 万解析：选 C.设本金为 x 元，由题
3、意得(x1.98%)20%138.64x3.5(万元)按活期存入银行 1 000 元，年利率是 0.72%，那么按照单利，第 5 年末的本利和是()A1 036 元B1 028 元C1 043 元D1 026 元解析：选 A.第五年末的本利和是 1 0001 0000.72%51 000361 036.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b，2013年产生的垃圾量为 a t，由此预测，该区 2014 年的垃圾量为_t，2018 年的垃圾量为_t.解析：由于 2013 年的垃圾量为 a t，年增长率为 b，故下一年的垃圾量为 aaba(1b)t，同理可知 2015 年的垃圾量为 a(1b
4、)2 t，2018 年的垃圾量为 a(1b)5 t.答案：a(1b)a(1b)5解读数列建模(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差其一般形式是：an1and(常数)(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的倍数时，该模型是等比模型，其一般形式是：an1anan100%q(常数)(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题、树木的生长与砍伐问题
5、等(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项 an 与它的前一项an1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题 利用等差数列模型解题 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从 8月 1 号开始，每个月的 1 号都存入 100 元，存期三年(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 2.7.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是 1.725.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收 20%的利息税)【解】(1)100361002.7（361）3623 779.82(元)(2)10036100
6、1.725（361）362(120%)3 691.9083 691.91(元)3 779.823 691.9187.91(元)即“教育储蓄”一次支取本息 3 779.82 元，比“零存整取”多收益 87.91 元此类问题在计算利息时，每次存入的钱不计复利，即对应等差数列模型 1.(1)某人在一年 12 个月中，每月 10 日向银行存入 1 000 元，假设银行的月利率为 5(按单利计算)，则到第二年的元月 10 日，此项存款一年的利息之和是()A5(12312)元B5(12311)元C1 00015(5)2(5)11元D1 00015(5)2(5)12元(2)有一批影碟机原销售价为每台 800
7、 元，在甲、乙两家商场均有销售甲商场用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台单价为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少 20 元，但每台最低价不能低于 440 元；乙商场一律都按原价的 75%销售某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？解：(1)选 A.存款利息是以 5 为首项，5 为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为 5(12312)元，故选 A.(2)设某单位需购买影碟机 n 台，在甲商场购买每台售价不低于440 元时，售价依台数 n 成等差数列，设该数列为an，an780(n1)(20)80020n，解不等式 an440，即 80020n4
8、40，得 n18，当购买台数小于 18 时，每台售价为(80020n)元，当台数大于或等于 18 时，每台售价为 440 元 到乙商场购买，每台售价为 80075%600 元，作差：(80020n)n600n20n(10n)，所以，当 n10 时，600n(80020n)n；当 n10 时，600n(80020n)n；当 10n18 时，(80020n)n600n；当 n18 时，440n600n.所以当购买台数少于 10 台时，购买到乙商场花费较少；当购买 10 台时，到两商场购买花费相同；当购买多于 10 台时，到甲商场购买花费较少 利用等比数列模型解题 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活
9、的付款方式，对购买一辆 10 万元的轿车在 1 年内将款全部付清的前提下，可分 3 次付清，购买 4 个月第 1 次付款，再过 4 个月第 2 次付款，再过 4 个月第 3 次付款，规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为 0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要记入下月本金，问付款总额是多少？【解】设每次付款额为 x1 万元，第一次付款的本利和为1.0088x1 万元，第二次付款的本利和为 1.0084x1 万元，第三次付款的本金为 x1 万元(第三次付款不产生利息)，则 1.0088x11.0084x1x1101.00812，所以 x1（1.0084）311.00841101.0081
10、2，所以 x1101.00812（1.00841）1.008121 3.552(万元)付款总额为 33.55210.66 万元在本例中，若分 12 次付清，其他条件不变，付款总额又是多少？解：设每次付款额为 x2 万元，那么一年后，第一次付款的本利和为 1.00811x2 万元，第二次付款的本利和为 1.00810 x2 万元，第 12 次付款的本金为 x2 万元 则 1.00811x21.008x2x2101.00812，所以 x21.0081211.0081 101.00812，所以 x2101.008120.0081.0081210.877 3(万元)付款总额为 120.877 310.
11、53(万元)分期付款中的有关计算关键在于：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的款额连同最后一次付款时所产生的利息之和，等于贷款额与到最后一次付款时，贷款额所产生的利息的和 2.(1)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN)等于_(2)职工小张年初向银行贷款 20 万元用于购房，银行贷款的年利率为 10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要分 10 年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还款多少元？
12、(结果保留整数，1.1102.594)解：(1)每天植树的棵数构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，其前 n 项和 Sn2（12n）122n12.由 2n12100，得2n1102.由于 2664，27128，则 n17，即 n6.故填 6.(2)法一：若某人向银行贷款 M0 元，年利率为 100%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，并从借款后次年年初开始每次 a 元等额归还，第 N 次全部还清那么一年后欠款数为 M1(1)M0a，两年后欠款数为 M2(1)M1a(1)(1)M0aa(1)2M0a(1)1，N 年后欠款数为 MN(1)MN1a(1)NM0a(1)N1(1)N2(
13、1)1 因为 MN0，所以(1)NM0a（1）N1，故 a（1）NM0（1）N1.这就是每期归还金额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式 对于上述购房问题，将 0.1，M0200 000，N10 代入，得 a200 0000.11.1101.110132 547(元)，故每年应还款 32 547 元 法二：设每年还款 x 元，需 10 年还清，那么每年还款及利息情况如下：第 10 年还款 x 元，此次欠款全部还清 第 9 年还款 x 元，过 1 年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为 x(110%)元 第 8 年还款 x 元，过 2 年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为 x(110%)
14、2 元 第 1 年还款 x 元，过 9 年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为 x(110%)9 元 根据题意可得 xx(110%)x(110%)2x(110%)9 200 000(110%)10，所以 x200 0001.1100.11.110132 547(元)即每年应还款 32 547 元 等差与等比数列综合解决实际问题 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元；两种方案使用期都是 10 年，到期一次性归还本息若银行两种形式
15、的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多？(取 1.05101.629，1.31013.786，1.51057.665)【解】(1)甲方案获利：1(130%)(130%)2(130%)91.31010.342.62(万元)银行贷款本息：10(15%)1016.29(万元)，故甲方案纯获利：42.6216.2926.33(万元)(2)乙方案获利：1(10.5)(120.5)(190.5)10110920.532.50(万元)，银行本息和：1.051(15%)(15%)2(15%)91.051.051010.0513.21(万元)故乙方案纯获利：32.5013.2119.2
16、9(万元)综上，甲方案纯获利更多解决与数列有关的实际应用题时，一定要理清各个量之间的关系，正确地将实际问题转化为数学模型，在数列求和时，首先要分清是何种数列，然后再利用相应公式求和 3.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元(1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an1 与 an 的关系式；(2)若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余
17、资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)解：(1)由题意得 a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)d32a1d4 50052d，所以 an1an(150%)d32and.(2)由(1)得，当 n2 时，an32an1d 3232an2d d 322an232dd 32n1a1d13232232n2 整理得 an32n1(3 000d)2d32n11 32n1(3 0003d)2d.由题意，am4 000，所以32m1(3 0003d)2d4 000，解得 d32m2 1 00032m1 1 000（3m2m1）3m2m.故该企业每年上缴
18、资金 d 的值为1 000（3m2m1）3m2m时，经过m(m3)年企业的剩余资金为 4 000 万元易错警示实际问题与所建数学模型不符致误 某林场去年年底森林中的木材存量为 a，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为 b，为了实现经过 20 年达到木材存量至少翻两番的目标，求 b 的最大值(取lg 20.3)【解】设 a1，a2，a20 表示今年开始的各年木材存量，则 anan1(125%)b，所以 an54an1ban4b54(an14b)，即数列an4b是等比数列，且公比 q54.所以 a204b(a4b)5420，设 t5420，则 lg t20 lg5420
19、lg108 20(13lg 2)20(130.3)2，所以 t100，于是 a204b100(a4b)，所以 a20100a396b.由 a204a，得 4a100a396bb 833a.故每年冬季最大砍伐量为 833a.本题易错将 a(125%)2020b 认为是 20 年后木材存量每年的砍伐量是一个常数，但是 a(125%)20 表示按每年均不砍伐时，20 年后木材的存量，其中包含了每年被砍去的木材也按25%的年增长率在生长，故上式错误对于题目要求“至少翻两番”，应用不等式求解，而不是列方程.1某钢厂的年产值由 1998 年的 40 万吨，增加到 2008 年的 50万吨，经历了 10 年
20、的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2018 年的年产值将接近()A60 万吨 B61 万吨C63 万吨D64 万吨解析：选 C.设年增长率为 x，则 2008 年为：40(1x)1050，则(1x)1054.2018 年为：40(1x)2040(1x)102 40545462.563(万吨)2某工厂购买一台机器价格为 a 万元，实行分期付款，每期付款 b 万元，每期为一个月，共付 12 次，如果月利率为 5，每月复利一次，则 a，b 满足()Ab a12Bba（15）1212Cba（15）12D a12ba（15）1212解析：选 D.因为 b(11.0051.00521.00511)a(1
21、0.005)12，所以 12ba(10.005)12，所以 ba，即 a12ba（15）1212.3某房地产开发商在销售一幢 23 层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为 a1元/m2，顶层由于景观好价格为 a2 元/m2，第二层价格为 a 元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价 a100 元/m2，则该商品房各层的平均价格为_解析：设第二层到第 22 层的价格构成数列bn，则bn是等差数列，b1a，公差 d a100，共 21 项，所以其和为 S2121a21202 a10023.1a，故平均价格为 123(a1a223.1a)元/m2.答案：12
22、3(a1a223.1a)元/m241 个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么 24 min 可注满水池如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭 1 个水龙头，到最后 1 个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后 1 个水龙头放水的时间恰好是第 1 个水龙头放水时间的 5 倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？解：设共有 n 个水龙头，每个水龙头开放时间依次为 x1，x2，xn，由已知 x2x1x3x2x4x3xnxn1，数列xn是等差数列，每个水龙头 1 min 放水 124n，所以x1x2xn24n1，即 Sn24n，即（x1xn）n224n，所以12(x1xn)24，x1xn48.又因为 xn5x1，所以 6x148，x18，xn5x140.故最后关闭的水龙头放水 40 min.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放