1、2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（12*5=60）1双曲线=1的离心率为（）ABCD22已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5BxR，2x5Cx0R，2=5Dx0R，253已知f（x）=xln x，若f（x0）=2，则x0等于（）Ae2BeCDln 24过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）A0条B1条C2条D3条5过曲线y=x3+x2上一点P0处的切线平行于直线y=4x+1，则点P0的一个坐标是（）A（0，2）B（1，1）C（1，4）D（1，4）6抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的一
2、条渐近线的距离为（）A1B2CD7已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）ABCD8已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=19过双曲线x2y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是（）A28B148C14+8D810已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A4BCD11当x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，2）B2，+C
3、3，+D（，3）12过点M（2，0）作斜率为k1（k10）的直线与双曲线x2=1交于A、B两点，线段AB的中点为P，O为坐标原点，OP的斜率为k2，则k1k2等于（）AB3CD3二、填空题（4*5=20）13曲线y=ex在点（0，1）处的切线方程是14过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=15横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是16若函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围三、解答
4、题17命题p：实数x满足x24ax+3a20（其中a0），命题q：2x3（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值19从双曲线x2y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N求线段QN的中点P的轨迹方程20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点B（0，1）（）求椭圆的标准方程；（）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若0，求实数k的取值范围21设函数f（x）=（x1）2+blnx（1）
5、若f（x）在x=2时取得极小值，求b的值；（2）若函数f（x）在定义城上是单调函数，求b的取值范围22已知抛物线y2=4x，作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，弦AB的中点为P（1）若M（2，0），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）设M（m，0），若点P满足，求m的值2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（12*5=60）1双曲线=1的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的标准方程可以求得a和 c，从而求得离心率e=的值【解答】解：由双曲线=1可得a=2，b=，c=3，e=，故选：C2已
6、知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5BxR，2x5Cx0R，2=5Dx0R，25【考点】全称命题；命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论【解答】解：命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题得：p为x0R，25，故选：D3已知f（x）=xln x，若f（x0）=2，则x0等于（）Ae2BeCDln 2【考点】导数的运算【分析】先对函数进行求导，然后根据f（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案【解答】解：f（x）=xln x，（x0）f（x）=lnx+1，f（x0）=2，f（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，x0的值等于e故选：B4过点（0，1
7、）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）A0条B1条C2条D3条【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】当直线为 x=0，或 y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y2=4x仅有一个公共点当直线的斜率等于k 时，直线方程为 y1=k（x0），代入抛物线方程化简，由判别式等于0解得 k=1，故满足条件的直线共有3条【解答】解：由题意可得，当直线为 x=0，或 y=1时，即直线和x轴，y轴垂直时，显然满足与抛物线y2=4x仅有一个公共点当直线的斜率等于k 时，直线方程为 y1=k（x0），代入抛物线y2=4x可得 k2x2+（2k4）x+1=0，=（2k4）24k
8、2=0，解得 k=1，故满足条件的直线共有3条，故选D5过曲线y=x3+x2上一点P0处的切线平行于直线y=4x+1，则点P0的一个坐标是（）A（0，2）B（1，1）C（1，4）D（1，4）【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4xy1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标【解答】解：（1）y=x3+x2，y=3x2+1，过曲线y=x3+x2上一点P0处的切线平行于直线y=4x+1，3x2+1=
9、4，解之得x=1当x=1时，y=0；当x=1时，y=4切点P0的坐标为（1，0）或（1，4），故选C6抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的一条渐近线的距离为（）A1B2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2=1的一条渐近线为y=x，则焦点到渐近线的距离为d=故选C7已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项
10、【解答】解：由导数的图象可得，导函数f（x）的值在1，0上的逐渐增大，故函数f（x）在1，0上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的导函数f（x）的值在0，1上的逐渐减小，故函数f（x）在0，1上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B8已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的标准方程【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解
11、：由题意， =，抛物线y2=4x的准线方程为x=，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，双曲线的方程为故选：D9过双曲线x2y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是（）A28B148C14+8D8【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线方程得a=b=2，c=4由双曲线的定义，证出|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8=PQ|+8，结合|PQ|=7即可算出PF2Q的周长【解答】解：双曲线方程为x2y2=8，a=b=2，c=4，根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|=4，|QF2
12、|QF1|=4，|PF2|=|PF1|+4，|QF2|=（|QF1|+4），相加可得|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8，|PF1|+|QF1|=|PQ|=7，|PF2|+|QF2|=7+8，因此PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=7+8+7=14+8，故选：C10已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A4BCD【考点】椭圆的简单性质【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin），利用三角函数即可得到结论【解
13、答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin）|PQ|2=（2cos）2+（sin1）2=3sin22sin+5，当sin=时，|PQ|2max=，直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长|PQ|max=故选：B11当x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，2）B2，+C3，+D（，3）【考点】函数最值的应用【分析】利用（x0）求解，注意等号成立的条件，有条件x1可将x1看成一个真题求解【解答】解：，由=，即的最小值为3，故选D12过点M（2，0）作斜率为k1（k10
14、）的直线与双曲线x2=1交于A、B两点，线段AB的中点为P，O为坐标原点，OP的斜率为k2，则k1k2等于（）AB3CD3【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2=1，得（1+2k12）x2+8k12x+8k122=0，然后由根与系数的关系求解能够得到k1k2的值【解答】解：设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2=1，得（3k12）x24k12x4k123=0，所以x1+x2=，则k1=，即线段AB的中点为P的横坐标为，则纵坐标为y=k1（x+2）=k1（+2）=，所以OP的斜率k2=，所以k1k2=3，故选B二、填空题（4*5=20）13曲线y=
15、ex在点（0，1）处的切线方程是xy+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到在x=0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式【解答】解：由f（x）=ex，得f（x）=ex，f（0）=e0=1，即曲线f（x）=ex在x=0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），曲线f（x）=ex在x=0处的切线方程为y=x+1，即xy+1=0故答案为：xy+1=014过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A
16、（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6|AB|=x1+x2+2=8故答案为815横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大
17、值时的横断面的值【解答】解：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大y2=d2x2，xy2=x（d2x2）（0xd）令f（x）=x（d2x2）（0xd），得f（x）=d23x2，令f（x）=0，解得x=或x=（舍去）当0x时，f（x）0；当xd时，f（x）0，因此，当x=时，f（x）取得极大值，也是最大值故答案为： d16若函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求f（x）的定义域为（0，+），求导f（x）=2x=；从而可得（a1，a+1）；从而求得【解答】
18、解：f（x）=x2lnx+1的定义域为（0，+），f（x）=2x=；函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，f（x）=2x=在区间（a1，a+1）上有零点，而f（x）=2x=的零点为；故（a1，a+1）；故a1a+1；解得，a；又a10，a1；故答案为：三、解答题17命题p：实数x满足x24ax+3a20（其中a0），命题q：2x3（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，结合pq为真，即可求
19、实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，根据充分条件和必要条件的定义和性质，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）p：ax3a，a=1时，1x3，q：2x3，若pq为真，故2x3；（2）若q是p的充分不必要条件，则qp，解得1a218已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由已知得f（x）=3x2+6x+9，由此能求出f（x）的单调区间（2）由f（x）=3x2+6x+9=0，得x=1或x=3（舍），由此利用已知条
20、件能求出它在区间2，2上的最小值【解答】解：（1）f（x）=x3+3x2+9x+a，f（x）=3x2+6x+9，由f（x）0，得1x3，f（x）的单调递增区间为（1，3）；由f（x）0，得x1或x3，f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（2）由f（x）=3x2+6x+9=0，得x=1或x=3（舍），f（2）=8+1218+a=2+a，f（1）=1+39+a=a5，f（2）=8+12+18+a=22+a，f（x）在区间2，2上的最大值为20，22+a=20，解得a=2它在该区间上的最小值为a5=719从双曲线x2y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N求线段QN的中点P的轨迹方程
21、【考点】轨迹方程【分析】设P（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据垂线的关系及点Q在双曲线上，代入其方程即可得到【解答】解：设动点P的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x1，y1）则N（ 2xx1，2yy1）代入x+y=2，得2xx1+2yy1=2 又PQ垂直于直线x+y=2，故，即xy+y1x1=0 由解方程组得x1=x+y1，y1=x+y1，代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x22y22x+2y1=020已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点B（0，1）（）求椭圆的标准方程；（）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若0，求实数k的取值范围【考点】椭圆的简单性质
22、【分析】（）由题意知，解出即可得出椭圆的标准方程（II）直线方程与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0，利用平面向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出【解答】解：（）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：（）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（2，0），此点为椭圆的左顶点，x1=2，y1=0，由（*）式，可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k，由，即，整理得20k2+4k30解得：21设函数f（x）=（
23、x1）2+blnx（1）若f（x）在x=2时取得极小值，求b的值；（2）若函数f（x）在定义城上是单调函数，求b的取值范围【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）因为函数f（x）=（x1）2+blnx，对其进行求导，已知（x）在x=2时取得极小值，可得f（2）=0，从而求解；（2）函数f（x）=（x1）2+blnx，f（x）在定义城上是单调函数，则f（x）0，或f（x）0恒成立，分两种情况进行讨论，从而求解；【解答】解：（1）函数f（x）=（x1）2+blnx，f（x）=2（x1）+，（x）在x=2时取得极小值，f（2）=0，21+=0，b=4；（2）f（x）在
24、定义域上是单调函数，则f（x）0，或f（x）0恒成立，x0，当f（x）0，有b2x2x2=2（x）2+，b，当f（x）0，b2x2x3对任意x0成立，不存在，故满足条件的b的取值范围为，+）22已知抛物线y2=4x，作斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，弦AB的中点为P（1）若M（2，0），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）设M（m，0），若点P满足，求m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）求出直线l的方程，利用直线与抛物线联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式求出AB的距离，然后求解圆的方程（2）求出直线方程，利用直线与抛物线联立方程组，通过，转化为：得到m，即可【解答】解：（1）直线方程为：y=x2，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，所以中点为所以圆的方程：（x4）2+（y2）2=24（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为：y=xm，可得，所以，解得：，2016年8月23日