1、第一章 数 列第 2 课时 等比数列的性质1等比数列的通项公式与指数函数(1)等比数列的通项公式 ana1qn1 可以看作是指数型函数 ycqx.(2)等比数列增减性：当 q1，a10 或 0q1，a10 时，等比数列an是递增数列；当 q1，a10 或 0q1，a10 时，等比数列an是递减数列；当 q1 时，等比数列an是常数列；当 q0 时，等比数列an是摆动数列2等比数列的性质若数列an是公比为 q 的等比数列，则(1)anamqnm(m，nN)(2)若 mnst2k(m，n，s，t，kN)，则 amanasat(3)can(c 是非零常数)是公比为的等比数列(4)|an|是公比为的等
2、比数列(5)若an、bn分别是公比为 q1、q2 且项数相同的等比数列，则数列anbn是公比为的等比数列a2kq|q|q1q2判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)q1 时，等比数列an是递增数列()(2)在等比数列an中，若 amanapaq，则 mnpq.()(3)在等比数列an中，如果 mn2k，(m，n，kN)，那么amana2k.()(4)若数列an是等比数列，则数列1an 是等比数列()解析：(1)错误q1，a10 时，等比数列an是递增数列，q1，a10 时，等比数列an是递减数列(2)错误若等比数列是非零常数列则结论就不成立(3)正确因为 ama1qm1，ana1qn1，所以
3、 amana21qmn2 又因为 a2k(a1qk1)2a21q2(k1)a21qmn2.所以 amana2k.(4)正确因为数列an是等比数列，公比为 q.所以1an 也是等比数列，公比为1q.答案：(1)(2)(3)(4)已知an是等比数列，a22，a514，则公比 q 等于()A12 B2C2 D12解析：选 D.由 a5a2q3，得 q3a5a214218，所以 q12，故选D.将公比为 q 的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2，a2a3，a3a4，则此数列是()A公比为 q 的等比数列B公比为 q2 的等比数列C公比为 q3 的等比数列D不一定是等比数列解析：选
4、B.由于anan1an1an anan1an1an qqq2，n2 且 nN，所以anan1是以 q2 为公比的等比数列，故选 B.在等比数列an中，a1a230，a3a4120，则 a5a6_解析：由等比数列性质易知 a1a2，a3a4，a5a6 成等比数列，即 a5a6(a1a2)120302480.答案：4801等比数列an中各项符号的确定(1)当 a10，q0 时，各项为正数(2)当 a10 时各项为负数(3)当 q0，n1，2，且a5a2n 522n(n3)，则当 n1 时，log2a1log2a3log2a2n1()An(2n1)B(n1)2Cn2D(n1)2(2)已知an是等比数
5、列且 an0，a2a42a3a5a4a625，求 a3a5_【解析】(1)法一：由 a5a2n522n 得 a1q4a1q2n6a21q2n222n.又 an0，所以(a1qn1)2(2n)2，所以 a1qn12n.而 log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2(an1q022n2)log2an1qn(n1)log2(a1qn1)nlog2(2n)nn2.法二：由等比中项的性质，得 a5a2n5(an)222n，注意到 an0，所以 an2n.于是 log2a1log2a3log2a2n113(2n1)n2.(2)因为an为等比数列，所以 a2a4a23，a4
6、a6a25.所以 a232a3a5a2525.即(a3a5)225.因为 an0，所以 a3a55.答案：(1)C(2)5等比数列常用性质(1)若 mnpq(m，n，p，qN)，则 amanapaq.特例：若 mn2p(m，n，pN)，则 amana2p.(2)anamqnm(m，nN)(3)在等比数列an中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列(4)数列an为等比数列，则数列an(为不等于 0 的常数)、1an仍然成等比数列(5)数列an、bn是项数相同的等比数列，则anbn仍成等比数列 1.已知数列an为等比数列，若 a1a2a37，a1a2a38，求
7、数列an的通项公式解：设数列an的公比为 q，因为 a1a3a22，所以 a1a2a3a328，所以 a22，从而a1a35，a1a34，所以a11，a34或a14，a31.所以a11，q2或a14，q12.所以 an2n1 或 an23n.等比数列的设法与求解 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积是80，则这四个数为_【解析】由题意设此四个数分别为bq，b，bq，a，则 b38，解得 b2，q 与 a 可通过解方程组 2bqab，ab2q80 求出，即为a10，b2，q2或a8，b2，q52，所以此四个数为 1，2，4，10 或45，2，5，8
8、.【答案】1，2，4，10 或45，2，5，8灵活设项求解等比数列的技巧(1)三个数成等比数列设为aq，a，aq.(2)四个符号相同的数成等比数列设为 aq3，aq，aq，aq3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.2.已知三个数成等比数列，其积为 1，第 2项与第 3 项之和为32，则这三个数依次为_解析：设这三个数分别为aq，a，aq，则a31，aaq32，解得 a1，q52，所以这三个数依次为25，1，52.答案：25，1，52 等比数列的实际应用 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到 2017 年底，将当地沙漠绿化了 40%
9、，从 2018 年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的 12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的 8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据 lg 20.3，最后结果精确到整数)【解】设该地区总面积为 1，2 017 年底绿化面积为 a125，经过 n 年后绿洲面积为 an1，设 2 017 年底沙漠面积为 b1，经过 n 年后沙漠面积为 bn1，则 a1b11，anbn1.依题意，an1 由两部分组成：一部分是原有绿洲 an 减去被侵蚀的部分 8%an 的剩余面积 92%an，另一部分是新绿化的12%bn，所以 a
10、n192%an12%(1an)45an 325，即an13545an35，a135253515.所以an35 是以15为首项，45为公比的等比数列，所以 an3515 45n1，所以 an351545n1，则 an1351545n，因为 an150%，所以351545n12，所以45nlog4512lg 213lg 23.则当 n4 时，不等式45n1)升纯酒精的容器里倒出 1 升然后添满水摇匀，再倒出 1 升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第 n 次操作后溶液的浓度是多少？若 a2 时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于 10%?解：(1)由题意可得每 3 分钟病毒占的内存容量构
11、成一个等比数列，令病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次，即 22n64210216，解得 n15，从而复制的时间为 15345 分钟故填45.(2)设开始的浓度为 1，操作一次后溶液浓度 a111a，设操作n 次后溶液的浓度为 an，则操作 n1 次后溶液的浓度为 an1an11a.所以an是以 a111a为首项，公比为 q11a的等比数列 所以 ana1qn111an.即第 n 次操作后酒精的浓度是11an.当 a2 时，由 an12n 110解得 n4.故至少应操作 4 次后才能使酒精浓度小于 10%.规范解答等差、等比数列的简单综合问题(本题满分 12 分)已知等比数列bn与数列a
12、n满足 bn3an(nN)(1)若 a8a13m，求 b1b2b20；(2)若 b3b539，a4a63，求 b1b2bn 的最大值【解】(1)因为数列bn为等比数列，则 bnbn13anan1q，所以 anan1log3q，所以数列an是以 log3q 为公差的等差数列(q 为等比数列bn的公比)(2 分)又 a8a13m，所以 b1b203a13a203a1a203m，b2b193a23a193a2a193m，b10b113a103a113a10a113m，(4 分)所以 b1b2b20(b1b20)10 310m.(6 分)(2)由 b3b539，得 a3a59.又 a4a63，所以公差
13、 d3，a1272，所以 an272(n1)(3)(8 分)于是 a1an272 272 33n303n，所以 b1b2bn(b1bn)n2(3a1an)n2 332(n210n)(10 分)所以，当 n5 时，b1b2bn 取得最大值 3752.(12 分)(1)判断出an为等差数列是本题突破点 易误认为 b1b2b20(b1b20)20，从而失去 2 分 应注意 nN.(2)解答等差数列、等比数列的证明问题，关键是根据题目要求有目的地进行变形 要注意 an1and 与 anan1d，an1an q 与 anan1q 中 n 的取值不同，必要时对 n1 要进行验证1在等比数列an中，a46，
14、则 a2a6 的值为()A4 B8 C36 D32解析：选 C.因为an是等比数列，所以 a2a6a2436.2已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 q 的值为()A2 B1 C.12D18解析：选 A.因为 a3a5a24，a3a54(a41)，所以 a244(a41)，所以 a244a440，所以 a42.又因为 q3a4a12148，所以 q2.3 在 等 比 数 列 an 中，a888 3，a891 81，则 公 比 q _解析：因为 a891a888q891888a888q3，所以 q3a891a888813 27.所以 q3.答案：34在等比数列an中，a3a4a58，求 a2a3a4a5a6 的值解：在等比数列an中，由 a3a4a5a348，得 a42，又因为a2a6a3a5a24，所以 a2a3a4a5a6a542532.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放