1、课时跟踪检测（四十二） 空间点、直线、平面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2016扬州中学检测)下列命题中正确的是_(填序号)空间四点中有三点共线，则此四点必共面；三个平面两两相交的三条交线必共点；空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平面和平面可能只有一个交点解析：由公理及推论，可得正确，错误答案：2(2016南京外国语学校)已知，为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA.解析：由公理及推论，可得推理正确因为A，A，所以A，由公理知为经过点A的一条直线而不是一个点A，所以推理错
2、误答案：3.(2016海门中学月考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的中点若BFC60，则ED1D_.解析：取BB1的中点G，连结C1G，EG，因为E是棱A1A的中点，G是棱B1B的中点，所以A1B1綊EG.又A1B1綊C1D1，所以EG綊C1D1，所以四边形EGC1D1是平行四边形，所以D1E綊C1G.又BG綊C1F，所以四边形BGC1F是平行四边形，所以C1GFB，所以D1EFB.又D1DFC，ED1D与BFC的两边方向相同，所以由等角定理，可得ED1DBFC60.答案：604.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共
3、面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：55(2016江苏四星级高中联考)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_解析：如图，设ACBDO，连结VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，又VOACO，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1空间四边形的两
4、条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是_(填序号)矩形；菱形；正方形；直角梯形解析：顺次连结空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连结四边中点的四边形一定是矩形答案：2(2016金陵中学检测)若a，b是空间的两条直线且a，b，l，则a与b的位置关系为_解析：如图，b1，b2，a1，a2，且a2与b2相交，b1a1，a2与b1异面，结合图形(如图所示)，可知a与b的位置关系是平行或相交或异面答案：平行或相交或异面3(2016金陵中学检测)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的_条件
5、(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件答案：充分不必要4给出下列四个说法，其中正确的是_(填序号)空间中两条不相交的直线一定平行；梯形可以确定一个平面；若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.解析：在空间中不相交的两条直线可能平行，也可能异面，错误；正确；错误，因为它也可能与另一条直线异面；由公理4，知正确答案：5已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a
6、不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题的个数是_解析：中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交若c与a，b都不相交，则ca，cb，则ab，与a，b异面矛盾，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2.答案：26如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为_对解析：平面图形的翻折应
7、注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案：37设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在
8、任何一个平面内”，故错答案：8.(2014淮安模拟)如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2的夹角为_解析：将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合故l1与l2相交，连结AD，则ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.答案：9.(2016启东中学检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.(1)求证：D，B，F，E四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置解：(1)证明：法一：如图，连结DE，BF.由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故直线CC1与
9、BF必相交，设交点为O，则OC1C1C.同理，直线DE与CC1也相交，设交点为O，则OC1C1C，故O与O重合由此得DEBFO，故D，B，F，E四点共面(设为)法二：连结B1D1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD.又E，F分别为C1D1，C1B1的中点，EFB1D1，EFBD，即D，B，F，E四点共面(设为)(2)连结PQ，A1C.由于AA1CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为)又PBD，BD，故P.又PAC，AC，所以P，所以P，同理可证得Q，所以PQ.又A1C，所以A1C与平面的交点就是A1C与PQ的交点，则A1C与PQ的交点就是所求的交点R.10.(2016南京一
10、中检测)如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体
11、中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案：2设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是_若AC与BD共面，则AD与BC共面；若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；若ABAC，DBDC，则ADBC；若ABAC，DBDC，则ADBC.解析：中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；中，若ABAC，DB
12、DC，AD不一定等于BC；中，若ABAC，DBDC，可以证明ADBC.答案：3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由如下：连结MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1AC1C，A1AC1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，与B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线