1、课时提能演练(五十)(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是_.2.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则a的值是_.3.(2012常州模拟)若点P(2a,a)在圆(x-a)2+(y+a)2=5的外部，则实数a的范围为_.4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为_.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_.6.(2012徐州模拟)经过圆(x-1)2+y2=
2、1的圆心M，且与直线x-y=0垂直的直线方程是_.7.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值为_.8.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围为_；该圆半径r的取值范围是_.二、解答题(每小题15分，共45分)9.(2012扬州模拟)已知圆C方程为：(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2(m0).(1)求证：当m变化时，圆C的圆心在一条定直线上;(2)求(1)中一系列圆的公切线的方程.10.已知圆C：(x+1)2+y2=8.(1)设点Q(x,y)是圆C上一点，求x+y的取值范围;(2)在直线x+y-7=
3、0上找一点P(m,n),使得过该点所作圆C的切线段最短.11.(2012南通模拟)已知以点P为圆心的圆过点A(-1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程；(3)设点Q在圆P上，试探究使QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论.【探究创新】(15分)如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直于直线AB.点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L于M、N点.(1)若PAB=30,求以MN为直径的圆的方程；(2)当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过AB上一定点.答案解析1.【解
4、析】可设圆心坐标为(0,b),又因为圆的半径为1，且过点(1,2),所以(0-1)2+(b-2)2=1,解得b=2,因而圆的方程为x2+(y-2)2=1.答案：x2+(y-2)2=12.【解析】因为方程表示圆，所以有a2=a+2且(2a)2+02-4a2a0,解得a=-1.答案：-13.【解析】由题意可知(2a-a)2+(a+a)25,即5a25,a1或a-1.答案：(-,-1)(1,+)4.【解析】圆C2的圆心与圆C1的圆心关于直线x-y-1=0对称，所以设圆C2的圆心为(a,b)，则=-1a+b=0，且()在x-y-1=0上，解得a=2,b=-2，故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2
5、=1.答案：(x-2)2+(y+2)2=15.【解题指南】注意最长弦与最短弦互相垂直，该四边形的面积为两对角线乘积的倍.【解析】由题意知圆的标准方程为(x3)2(y4)252，点(3,5)在圆内，且与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为四边形ABCD的面积S答案：6.【解析】因为(x-1)2+y2=1的圆心坐标为M(1,0)，又因为所求直线与直线x-y=0垂直，所以所求直线的方程为y-0=-(x-1),即x+y-1=0.答案：x+y-1=07.【解析】圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d=5，圆上的点到直线的距离的最小值为5-1=4.答案:48.【解析】将圆方程配方得：
6、(x-m-3)2+(y-4m2+1)2=-7m2+6m+1,由-7m2+6m+10,得m的取值范围是-m1；由于答案：9.【解析】(1)由消去m得a-2b+1=0，故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上.(2)设公切线方程为y=kx+b,则由相切有,对一切m0成立.即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0对一切m0恒成立,当k不存在时直线为x=1.所以公切线方程为y=和x=1.10.【解题指南】(1)可设x+y=t，注意该直线与圆的位置关系即可得出结论；(2)可利用切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且有半径为一定值；只需圆心到直线
7、的距离最小即可.【解析】(1)设x+y=t，因为Q(x,y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，即解得：-5t3，即x+y的取值范围为-5,3；(2)因为圆心C到直线x+y-7=0的距离为所以直线与圆相离，又因为切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且有半径为一定值，所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线，过其垂足作圆的切线所得切线段最短，其垂足即为所求的点P；设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0.又因为该线过圆心(-1,0)，所以-1-0+c=0，即c=1，而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4)，即所求的点为P(3,4).11.
8、【解析】(1)kAB=1,AB的中点坐标为(1,2),直线CD的方程为：y-2=-(x-1)即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0 又直径|CD|=4,|PA|=2,(a+1)2+b2=40. 代入消去a得b2-4b-12=0,解得b=6或b=-2,当b=6时a=-3,当b=-2时a=5,圆心P(-3,6)或P(5,-2),圆P的方程为：(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.(3)|AB|=当QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2，又圆心到直线AB的距离为4，圆P的半径为2,且4+22,圆上共有两个点Q，使QAB的面积为8.
9、【变式备选】如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上.(1)求证：F0;(2)若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且=0，求D2+E2-4F的值;(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OHAB且垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由.【解析】(1)方法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0，于是有F0，即证.方法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正、负半轴上.设两点
10、坐标分别为A(a,0),C(c,0)，则有ac0.对于圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F.因为ac0,故F0.(2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD的面积S=，因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8.又因为=0，所以BAD为直角，又因为四边形是圆M的内接四边形，故|BD|=2r=8r=4.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，可知-F=r2,所以D2+E2-4F=4r2=64.(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
11、则可得点G的坐标为(),即=().又=(-a,b),且ABOH,故要使G、O、H三点共线，只需证=0即可.而,且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F.同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有yByD=bd=F.所以，即ABOG.故O、G、H三点必定共线.【探究创新】【解析】建立如图所示的直角坐标系，O的方程为x2+y2=4,直线L的方程为x=4.(1)当点P在x轴上方时，PAB=30,点P的坐标为(1,),lAP：y=(x+2)，lBP：y=-(x-2).将x=4代入，得M(4,2),N(4,-2).MN的中点坐标为(4,0),MN=4.以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是(x-4)2+y2=12.(2)设点P的坐标为(x0,y0),x02+y02=4(y00),y02=4-x02.lPA：y=,lPB：y=,将x=4代入，得yM=yN=,M(4,),N(4,),MN=|-|=MN的中点坐标为(4,).以MN为直径的圆O截x轴的线段长度为为定值.O必过AB上的定点(4-，0).