1、2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用第五节 指数函数【高考新动向】一、考纲点击1了解指数函数模型的实际背景；2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4知道指数函数是一类重要的函数模型。二、热点、难点提示1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现.【考纲全景透析】1根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注
2、如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根（2）两个重要公式；。2有理数指数幂（1）幂的有关概念正整数指数幂:;零指数幂:;负整数指数幂:正分数指数幂:;负分数指数幂: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质aras=ar+s(a0,r、sQ);(ar)s=ars(a0,r、sQ);(ab)r=arbs(a0,b0,rQ);.3指数函数的图象与性质 y=axa10a0时，y1;x0时
3、,0y0时，0y1;x1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。【热点难点全析】一、幂的运算的一般规律及要求1相关链接(1)分数指数幂与根式根据可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 写成等必须认真考查a的取值才能决定,如而无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根
4、式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简原则化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。（2）结果要求若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给
5、出，则结果用分数指数幂表示；结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。2例题解析例1（1）化简：；（2）计算：分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。解：（1）原式=；（2）原式=例2已知，求的值解：，又，二、指数函数的图象及应用1相关链接（1）图象的变换（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；图象在y轴上的身影可得出函数的值域；从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而
6、得出最值；由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；由两个图象交战的横坐标可得方程的解。（3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.（4）利用图象解指数型方程、不等式：一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.2例题解析例1已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【方法诠释】(1)作出f(x)的图象
7、,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.解析：(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-,0)上递减；函数f(x)在(0,+)上递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.由图象知,当时,解得两图象相交,从图象可见,当时,f(x)f(x+1)；当时,f(x)=f(x+1);当时,f(x)f(x+1).(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(
8、x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.例2已知函数y=()|x+1|。作出图象；由图象指出其单调区间；由图象指出当x取什么值时函数有最值。分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值。解答：（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是： 另一部分是：图象如图：（2）由图象知函数在上是增函数，在上是减函数。（3）由图象知当时，函数有最大值1，无最小值。三、指数函数的性质及应用1、相关链接（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；先确定f(x)的值域，再根据指数函数的
9、值域、单调性，可确定y=af(x)的值域；（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤求复合函数的定义域；弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；分层逐一求解函数的单调性；求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.2、例题解析例1(1)函数的定义域是_.(2)函数的单调递减区间为_,值域为_.(3)(2012金华模拟)已知函数 (a0且a1)求f(x)的定义
10、域和值域；讨论f(x)的奇偶性；讨论f(x)的单调性.【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.解析：(1)由题意知32x-13-3,2x-1-3,x-1,即定义域是-1,+).答案：-1,+)(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而在R上为单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+77,答案：(-,-2)3-7,+)(3)f(x)的定义域是R,令得ax=-,ax0,-0,解得-1y1,f(x)的值域为y|-1y
11、1.f(x)是奇函数.设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则x1x2,当a1时,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数.当0a1时, 从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.例2如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0且a1)在区间上是增函数，求实数的取值范围分析：先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解。解答：由题意得f(x)= （ax）2-（3a2+1）ax，令t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t0).当a1时，t= ax在上为增函数，则此时t1,而对
12、于f(t)而言，对称轴t=2,故f(x)在上不可能为增函数；当0a1时，t=ax在上为减函数，此时0t0,a1).(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x-1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围.思路分析：本题(1)(2)问判断f(x)的奇偶性、讨论它的单调性，由于已知函数的解析式，因此用定义判断或利用导数判断；(3)恒成立问题，实质上是探求f(x)的最小值.解答：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)为奇函数；（2）方法一：设，则 当a1时， 0，0，0，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)为增函数；当0a1时，0，0，f(
13、x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)为增函数；综上可知：函数f(x)= (ax-a-x) (a0,a1)在定义域上为增函数；方法二：f(x)= (ax-a-x)，f(x)= (axlna+a-xlna)=当a1时，f(x)0,此时f(x)为增函数；当0a1时，f(x)0,此时f(x)为增函数，综合可知：f(x)为增函数。(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，f(x)在区间-1,1上为增函数，f(-1)f(x)f(1)，f(x)min=f(-1)= (a-1-a)=-1，要使f(x)b在-1,1上恒成立，则只需b-1，故b的取值范围是(-,-1.方法指导：1.判断函数
14、的奇偶性，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系；2.在利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；3.解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现.4.解决与指数函数有关的综合问题时,除用研究函数图象与性质的相关知识及相关问题的处理方法外,同时,要适时地用指数函数的图象与性质.5.关于非具体函数（或具体函数）的不等式，往往先根据函数的单调性，将函数值间的不等式转化为自变量间的不等式.【高考零距离】1（2012山东高考文科15）若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a.【
15、解题指南】 本题考查关键是分和两种情况讨论，再代入到函数内检验是否为增函数.【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.答案：2（2011山东高考理科3）若点（a,9）在函数的图象上，则的值为：（）0 （） （）1 （）【思路点拨】根据点在函数上求出a，再代入求值【精讲精析】答案：.点（a,9）在函数的图象上，所以，所以3（2011四川高考文科4）函数的图象关于直线y=x对称的图象大致是（ ）.【思路点拨】（法一）先作出的图象， 再作关于直线对称的图象.（法二）先求出时，反函数的解析式，再作反函数的图象.【精讲精析】选.（ 法一）先由的图象向上平移一个单位，作出
16、的图象，再作直线对称的图象. (法二)当时，反函数的解析式为由的图象向右平移1个单位，即得所需图象.故选.4（2010辽宁文数）（10）设，且，则（） （）10 （）20 （）100解析：选.又5.（2010广东理数）3若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则f（x）与g（x）均为偶函数 . f（x）为偶函数，g（x）为奇函数f（x）与g（x）均为奇函数 . f（x）为奇函数，g（x）为偶函数解析：3【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012济南模拟)函数y=的值域为( )()，+) ()(-, ()(0, ()(0, 2.若函数f(x)=(
17、a+)cosx是奇函数，则常数a的值等于( )()-1 ()1 ()- () 3.(预测题)若集合x|y=,xR,集合y|y=log2(3x+1),xR,则=( )()x|0x1 ()x|x0()x|0x1 ()4.（易错题）函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则k的取值范围是( )()(-1,+) ()(-,1)()(-1,1) ()(0,2)5.(2012烟台模拟)若存在负实数使得方程2x-a=成立,则实数a的取值范围是( )()(2,+) ()(0,+)()(0,2) ()(0,1)6.设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x1时,f(x)=3x
18、-1,则有( )()f()f()f()()f()f()f()()f()f()f()()f()f()f()二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012南通模拟)设函数f(x)=a-|x|(a0且a1),若f(2)=4,则f(-2)与f(1)的大小关系是_.8.（2012三明模拟）若函数f(x)=ax-x-a(a0,a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_.9.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)+f(-x)=0；f(x)=f(x+2)；当0x1时，f(x)=2x-1，则f()+f(1)+f()+f(2)+f()=_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012福州模拟
19、)已知对任意xR,不等式恒成立,求实数m的取值范围.11.设函数f(x)=kax-a-x(a0且a1)是定义域为R的奇函数;(1)若f(1)0，试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)0的解集;(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x)，求g(x)在1,+)上的最小值.【探究创新】(16分)定义在上的函数f(x),如果满足：对于任意x,存在常数M0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a()x+()x;(1)当a=1时,求函数f(x)在(-,0)上的值域.并判断函数f(x)在(-,0)上是否为有界函数,请说
20、明理由；(2)若函数f(x)在0,+)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.(3)试定义函数的下界,举一个下界为3的函数模型,并进行证明.答案解析1.【解析】选.2x-x2=-(x-1)2+11,又y=()t在R上为减函数，y=()1=,即值域为,+).2.【解析】选.设g(x)=a+,t(x)=cosx，t(x)=cosx为偶函数，而f(x)=(a+)cosx为奇函数，g(x)=a+为奇函数，又g(-x)=a+=a+ ，a+ =-(a+)对定义域内的一切实数都成立，解得：a=.3.【解题指南】保证集合中的函数解析式有意义,同时注意对数函数成立的条件.【解析】选.=x|1-2|x|-1
21、0=x|x|-10=x|-1x1,=y|y0,=x|0x1.4.【解析】选.由于函数y=|2x-1|在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增,而函数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有k-10k+1,解得-1k1.5.【解题指南】转化为两函数y=与y=2x-a图象在(-,0)上有交点求解.【解析】选.在同一坐标系内分别作出函数y=和y=2x-a的图象知,当a(0,2)时符合要求.6.【解析】选.由已知条件可得f(x)=f(2-x).f()=f(),f()=f().又x1时,f(x)=3x-1,在(1,+)上递增,f()f()f().即f()f()f().【方法技巧】比较具有对称性、奇
22、偶性、周期性函数的函数值大小的方法(1)单调性法：先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内，然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.(2)图象法：先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.7.【解析】由f(2)=a-2=4,解得a=,f(x)=2|x|,f(-2)=42=f(1).答案：f(-2)f(1)8. 【解析】f(x)=ax-x-a有两个零点，即方程ax=x+a有两个实数根，即函数y=ax与y=x+a有两个不同的交点，结合图象知a1.答案：(1,+)9.【解题指南】根据条件先探究函数的奇偶性、周期性,再将所求函数值转化为已知函数值求解.【解析】依题意知：函数f(x)
23、为奇函数且周期为2，f()+f(1)+f()+f(2)+f()=f()+f(1)+f(-)+f(0)+f()=f()+f(1)-f()+f(0)+f()=f()+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案：10.【解析】由题知：不等式对xR恒成立,x2+x2x2-mx+m+4对xR恒成立.x2-(m+1)x+m+40对xR恒成立.=(m+1)2-4(m+4)0.m2-2m-150.-3m5.11.【解析】f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,k-1=0,k=1.(1)f(1)0,a-0,又a0且a1,a1,f(x)=ax-a-x,而当a1时，y=ax和y=-a-x在R上均为增函
24、数，f(x)在R上为增函数，原不等式化为：f(x2+2x)f(4-x),x2+2x4-x,即x2+3x-40,x1或x-4，不等式的解集为x|x1或x-4.(2)f(1)=,a-=,即2a2-3a-2=0,a=2或a=-(舍去)，g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2,令t=2x-2-x(x1),则t=h(x)在1,+)上为增函数(由(1)可知)，即h(x)h(1)=.p(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,当t=2时，g(x)min=-2,此时x=log2(1+),当x=log2(1+)时,g(x)有最小值-2.【误区警示】本题(2)中
25、易由于不会换元转化为二次函数而无法进行下去，根本原因是对于较复杂的函数式化繁为简，化陌生为熟悉训练不到位.【探究创新】【解析】(1)当a=1时,f(x)=1+()x+()x=()x+2+,f(x)在(-,0)上递减,所以f(x)f(0)=3,即f(x)在(-,0)的值域为(3,+),故不存在常数M0,使|f(x)|M成立,函数f(x)在(-,0)上不是有界函数.(2)由题意,|f(x)|3在0,+)上恒成立.-3f(x)3,-4-()xa()x2-()x,-42x-()xa22x-()x在0,+)上恒成立,-42x-()xmaxa22x-()xmin.设2x=t,h(t)=-4t-,p(t)=2t-,由x0,+)得t1,设1t1t2,h(t1)-h(t2)= 0,p(t1)-p(t2)= 0,所以h(t)在1,+)上递减,p(t)在1,+)上递增,h(t)在1,+)上的最大值为h(1)=-5,p(t)在1,+)上的最小值为p(1)=1,所以实数a的取值范围为-5,1.(3)定义在上的函数f(x),如果满足：对任意x,存在常数M0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是上的有界函数,其中M称为函数f(x)的下界例如f(x)=3,有|f(x)|3;证明：xR,|f(x)|=33,命题成立.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
