1、空间向量的运算及应用建议用时：45分钟一、选择题1已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x等于()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)B由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交B平行C在平面内D平行或在平面内D，共面则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内3已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bcBab，acCac，abD以上都不对Cc(4，6,2)2(2，3,1)2a，ac，又ab22(3)0140，ab.4.如
2、图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)B()()(abc)5A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定CM为BC中点，()，()0.AMAD，AMD为直角三角形二、填空题6在空间直角坐标系中，A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，若A，B，C，D四点共面，则2xyz_.1A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR
3、)，(0,1，1)，(2,2,2)，(x1，y1，z2)A，B，C，D四点共面，存在实数，使得，即(x1，y1，z2)(0,1，1)(2,2,2)，解得2xyz1.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_如图建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.8已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，
4、则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误三、解答题9已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，故向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点
5、，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.解(1)E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)证明：A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明：A1，E，F，C1四点共面，共面选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.1在空间四边形ABCD中，则的值为()A1B0C1D2B法一
6、：(直接法)如图，令a，b，c, 则()()()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.法二：(特值法)在三棱锥ABCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直所以0，0，0.所以0.2.(2019四川名校联考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B正方体棱长为a，A1MAN，().又是平面B1BCC1的法向量，且0，MN平面B1BCC1.故选B.3ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等
7、于_5设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0,4，3)，x1，y41，z23，D(1,41,23)，(4,45，3)，0，4(45)3(3)0，解得，|5.4如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长解AB与CD成60角，60或120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或.BD的长为2或.1已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_ (1,1,2) 由题意，设，则(，2)，即Q(，2)，则(1，2，12)，(2，
8、1，22)，(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，当1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2)2.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC，若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，BEDS.而BE平面PAC，故BE平面PAC.