1、数列的概念与简单表示法建议用时：45分钟一、选择题1数列0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式an等于()ABcos CcosDcosD令n1,2,3，逐一验证四个选项，易得D正确2若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于()A.B.C.D.30D当n2时，anSnSn1，所以5630.3记Sn为数列an的前n项和“任意正整数n，均有an0”是“Sn是递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A“an0”“数列Sn是递增数列”，“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件如数列an为1,1,3,5,7,9，显然数列Sn是递增数列，但是an不一定大
2、于零，还有可能小于零，“数列Sn是递增数列”不能推出“an0”，“an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件4(2019武汉5月模拟)数列an中，an12an1，a11，则a6()A32B62C63D64C数列an中，an12an1，故an112(an1)，因为a11，故a1120，故an10，所以2，所以an1为等比数列，首项为2，公比为2.所以an12n即an2n1，故a663，故选C.5若数列an的前n项和Snn210n(nN)，则数列nan中数值最小的项是()A第2项B第3项C第4项D第5项BSnn210n，当n2时，anSnSn12
3、n11；当n1时，a1S19也适合上式an2n11(nN)记f(n)nann(2n11)2n211n，此函数图像的对称轴为直线n，但nN，当n3时，f(n)取最小值数列nan中数值最小的项是第3项二、填空题6已知数列，则5是它的第_项21数列，中的各项可变形为，所以通项公式为an，令5，得n21.7若数列an满足a11，a23，an1(2n)an(n1,2，)，则a3等于_15令n1，则32，即1，由an1(2n1)an，得a35a25315.8在一个数列中，如果任意nN，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22
4、，公积为8，则a1a2a3a12_.28a1a2a38，且a11，a22.a34，同理可求a41，a52.a64，an是以3为周期的数列，a1a2a3a12(124)428.三、解答题9(2019洛阳模拟)已知数列an满足a150，an1an2n(nN)，(1)求an的通项公式；(2)已知数列bn的前n项和为an，若bm50，求正整数m的值解(1)当n2时，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12(n1)2(n2)222150250n2n50.又a15012150，an的通项公式为ann2n50，nN.(2)b1a150，当n2时，bnanan1n2n50(n1)2(n
5、1)502n2，即bn.当m2时，令bm50，得2m250，解得m26.又b150，正整数m的值为1或26.10设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN，设bnSn3n，(1)求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN，求a的取值范围解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，所以数列bn的通项公式为bn(a3)2n1，nN.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n
6、1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12n2a30a9，又a2a13a1(a3)综上，a的取值范围是9,3)(3，)1已知数列an满足：a11，an1(nN)，若bn1(n)，b1，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是()A(2，)B(3，)C(，2)D(，3)C由an1，知1，即12，所以数列是首项为12，公比为2的等比数列，所以12n，所以bn1(n)2n，因为数列bn是递增数列，所以bn1bn(n)2n(n1)2n1(n1)2n10对一切正整数n恒成立，所以n1，因为nN，所以2，故选C.2(2019临沂三模)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1
7、,1,2,3,5,8,13,21,34,55，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2 019项的和为()A672B673C1 346D2 019C由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，各项除以2的余数，可得an为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，所以an是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1102，因为2 0196733，所以数列an的前2 019项的和为67321 346，故选C.3(2019晋城三模)记数列an的前n
8、项和为Sn，若Sn3an2n3，则数列an的通项公式为an_.an2n当n1时，S1a13a11，解得a1；当n2时，Sn3an2n3，Sn13an12n5，两式相减可得，an3an3an12，故anan11，设an(an1)，故2，即an2(an12)，故.故数列an2是以为首项，为公比的等比数列，故an2n1，故an2n.4已知数列an中，a11，其前n项和为Sn，且满足2Sn(n1)an(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)记bn3na，若数列bn为递增数列，求的取值范围解(1)2Sn(n1)an，2Sn1(n2)an1，2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，1
9、，ann(nN)(2)由(1)知bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)数列bn为递增数列，23n(2n1)0，即为递增数列，c12，即的取值范围为(，2)1(2019烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：，(kN)，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列an：1，则首次出现时为数列an的()A第44项B第76项C第128项D第144项C观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，把数列重新分组：，可看出第一次出现在第16组，因为12315120，所以前15组一共有120项；第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.2已知二次函数f(x)x2axa(a0，xR)有且只有一个零点，数列an的前n项和Snf(n)(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nN)，定义所有满足cmcm10的正整数m的个数，称为这个数列cn的变号数，求数列cn的变号数解(1)依题意，a24a0，所以a0或a4.又由a0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.当n1时，a1S11441；当n2时，anSnSn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知，当n5时，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50，所以数列cn的变号数为3.