1、课时素养评价五函数的单调性与导数(15分钟30分)1.若在区间(a,b)内,f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有()A.f(x)0B.f(x)f(a)0.2.函数y=f的图象如图所示,则导函数y=f的图象的大致形状是()【解析】选D.函数y=f的单调性是先减,再增,最后变为常数函数,那么,导函数y=f的符号为:先负,后正,最后变为0,选项D符合题意.3.函数f(x)=ln x-x的单调递减区间为()A.,B.C.D.【解析】选C.由题可得f(x)=-1=,令f(x)0,即1或x0,故x1.4.函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-,+)上单调递增,则实数a的取值范围是_.【解析】f(
2、x)=3ax2-2x+1.由题意知3ax2-2x+10在(-,+)上恒成立,所以解得a.答案:5.判断函数f(x)=-1在(0,e)及(e,+)上的单调性.【解析】f(x)=.当x(0,e)时,ln x0,x20,所以f(x)0,f(x)为增函数.当x(e,+)时,ln xln e=1,1-ln x0,所以f(x)0)为增函数,则()A.b2-4ac0B.b0,c0C.b=0,c0D.b2-3ac0【解析】选D.由f(x)为增函数,知f(x)=3ax2+2bx+c0.所以=4b2-12ac0.即b2-3ac0.2.(2020洛阳高二检测)函数f在其定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=f的
3、图象可能为()【解析】选C.由函数f的图象可知,函数f在自变量逐渐增大的过程中,函数先递增,然后递减,再递增,当x0时,函数f单调递增,所以导数f的符号是正,负,正,正,只有选项C符合题意.3.函数f=sin 2x+2cos x,则f()A.在上单调递增B.在上单调递减C.在上单调递减D.在上单调递增【解析】选C.因为f(x)=sin 2x+2cos x=2sin xcos x+2cos x=2cos x(sin x+1).所以f(x)=2(cos x)(sin x+1)+cos x(sin x+1)=2-sin x(sin x+1)+cos2x=-2,令f(x)0,即0,故-1sin xf(
4、x)在R上恒成立,且f(1)=e,则下列判断一定正确的是()A.f(0)1B. f(-1)0D. f(-1)0 【解析】选A.令函数F(x)=,则F(x)=,因为f(x)f(x),所以F(x)0,故函数F(x)是定义在R上的增函数,所以F(1)F(0),即,又f(1)=e,故有f(0)1.【补偿训练】已知函数f(x)=x2-cos x,则f,f(0),f的大小关系是()A. f(0)ffB. f(0)ffC. fff(0)D. ff(0)f【解析】选B.因为函数f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f=f, f(x)=2x+sin x,当
5、0x0,所以函数在上递增,所以f(0)ff,即f(0)ff.5.已知函数f(x)=x2-aln x+1在(1,2)内不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为f(x)=2x-,f=x2-aln x+1在内不是单调函数,故2x-=0在内有解,即a=2x2在内有解,所以2a0;当x(-1,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,-1),(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.答案:(-,-1)和(0,+)(-1,0)7.若函数f=x3-ax2+3x+1在区间上单调递减,则实数a的取值范围为_.【解析】由题意得:f(x)=3x2-2ax+3,因为f(x)在区间上单
6、调递减,所以f(x)0在区间上恒成立,所以解得a.答案:8.若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是_ .【解析】f(x)=1-cos 2x+acos x0对xR恒成立,故1-(2cos2x-1)+acos x0,即acos x-cos2x+0恒成立,设t=cos x,t-1,1,则-t2+at+0对t-1,1恒成立,构造f(t)=-t2+at+,开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需保证解得-a.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x,试讨论f(x)的单调性.【解析】f(
7、x)=2x-(a+2)+=,x0.当a0时,易知f(x)在(0,1)上为减函数,在1,+)上为增函数;当0a2时,f(x)在(0,1)上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.10.已知函数f(x)=x3+ax2-1(xR).(1)当a=1时,求函数f(x)在点(1,1)处的切线方程.(2)若函数f(x)在x(1,2)上单调递减,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=3x2+2ax,所以当a=1时,f(x)=x3+x2-1,点(1,1)在f(x)上,f(1)=3+2=5,所以y-1=5(x-1),即5x-y-4=0,所以函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为5x-y-4=0.(2)因
8、为函数f(x)在x(1,2)上单调递减,所以f(x)=3x2+2ax0对x(1,2)恒成立,所以a-x,因为-3-x-,所以a-3,所以实数a的取值范围为(-,-3.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,讨论f(x)的单调性.【解析】f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(1)设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.(2)设a-,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)上单调递增,在(1,ln(-2a)上单调递减.