1、四柱坐标系与球坐标系简介 目 标 导 学 1理解柱坐标系和球坐标系的概念和结构2掌握空间点的三种坐标的互相转化公式知识梳理1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0,02)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组()(zR)表示这样，我们建立了空间中的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作，其中02，z.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为.2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是
2、空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角.这样点P的位置就可以用有序数组表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作，其中r0,0，02.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为.从柱坐标和球坐标的定义可知，这两种坐标都是用来表示空间任意一点的位置，都是在空间直角坐标系的基础上进行定义的，它们和空间直角坐标系有着不可分割的联系在实际应用中经常对点的坐标进
3、行相互之间的转化，以便满足不同条件的要求题型一直角坐标与柱坐标的互化(2019昆明黄冈实验学校检测)(1)点A的柱坐标是，则它的直角坐标是_(2)点B的直角坐标是(1，4)，则它的柱坐标是_【思路探索】(1)把柱坐标系中的坐标化为直角坐标时，利用公式求出x、y、z即可(2)把直角坐标系下的坐标转化为柱坐标时，利用公式以及x、y的正负确定角的大小求出、即可【解析】(1)2，z7，xcos ，ysin 1，z7.点A的直角坐标是(，1,7)(2)x1，y，z4，2，tan ，z4，x0，y0，点B的柱坐标为.【答案】(1)(，1,7)(2)名 师 点 拨由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为
4、(，z)，代入变换公式求；也可以利用2x2y2求，利用tan 求，在求时，要特别注意角所在的象限，从而确定的取值.在柱坐标系中，点M的直角坐标是_解析：，z2，xcos ，ysin ，点M的直角坐标为.答案：题型二球坐标与直角坐标的互化(1)将点M的直角坐标(1,0，1)转化为球坐标为_【解析】设点M的球坐标为(r，)其中0，02.由题意得r21202(1)22，r，cos ，cos ，又0，.又tan 0，又0,2)，角的终边过点(1,0)，0，点M的球坐标为.【答案】(2)已知点A的球坐标为，求它的直角坐标【思路探索】首先要明确点的球坐标(r，)中角，的边与数轴Oz，Ox的关系及其限定范围
5、，即0，02，化点的球坐标(r，)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式【解】设点的直角坐标为(x，y，z)，(r，)，直角坐标为(1，1，)名 师 点 拨设点P的直角坐标为(x，y，z)，球坐标为(r，)，若将球坐标化为直角坐标，利用公式求解；若将直角坐标化为球坐标，利用公式求解.(2019阳高一中检测)已知球坐标中，M，N，则|MN|_.解析：将球坐标系中M转化为直角坐标为M(1，2)，将球坐标系中N转化为直角坐标为N(3，2)，|MN|2.答案：2题型三求空间一点的柱坐标或球坐标(1)建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的各个顶点的坐标；(2)建立适当的球坐标系，表示棱长为3的正四
6、面体的各个顶点的坐标【思路探索】因为正四面体的底面是正三角形，所以选取底面正三角形的中心或某一个顶点为坐标原点，建立柱坐标系或球坐标系，利用正四面体的几何性质可求得各顶点的坐标【解】(1)以正四面体的一个顶点B为原点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为x轴，BD所在射线为y轴，过O点，与面BCD垂直的射线为z轴，建立柱坐标系过A作AA垂直于平面BCD，垂足为A，则A为BCD的中心，|BA|3，|AA|，ABx，于是可得A，B(0,0,0)，C，D.(2)如图所示，设底面正ABC的中心为O，以O为原点，射线OA为x轴正方向，过O且与OA垂直的直线为y轴，建立球坐标系在球坐标系中，可求得A，B，C，D(，0,0)名 师 点 拨建立柱坐标系或球坐标系与建立空间直角坐标系的方法相同，建系后要有利于求出有关点的坐标，同一种坐标系，选取原点的位置不同，其各点的坐标也不同.如图建立柱坐标系，正四面体ABCD的棱长为2，求A、B、C、D的柱坐标(O是BCD的中心)解：O是BCD的中心，|OC|OB|OD|2，|AO| .于是可求得A，B，C，D.