1、湖南师大附中2022届高三月考试卷（一）数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共10页时量120分钟满分150分第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合，则（ ）A B C D2某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ）A B C D3如图，在矩形中，点E为边上一动点（不包括端点），将沿翻折成，使
2、得平面平面给出下列两个结论：在平面内过点C有且只有一条直线与平面平行；在边上存在点E使得则下列判断正确的是（ ）A正确，错误 B错误，正确 C，都正确 D，都错误4函数的图象关于（ ）A点对称 B直线对称 C点对称 D直线对称5宋代著名类书太平御览记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至
3、少有两个阳爻的概率为（ ）A B C D6设，若，则的值为（ ）A63 B64 C65 D7如图，函数在一个周期内的图象（不包括端点）与x轴，y轴的交点分别为A，B与过点A的直线另相交于C，D两点，E为图象的最高点，O为坐标原点，则（ ）A B C D8已知点，若圆上存在两点A，B，使得，则r的取值范围是（ ）A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知实数a满足（i为虚数单位），设复数，则下列结论正确的是（ ）Az为纯虚数 B为虚数 C D10设等比数列的各项都为正数，其前n项
4、和为，已知，且存在两项，使得，则下列结论正确的是（ ）A B C D11若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为21，则称该椭圆为“倍径椭圆”则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）A B C D12已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）A B C D第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知，且，则向量与的夹角为_14已知，则的值为_15设直线与双曲线相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线的斜率分别为，若C的离心率为2，则_16如图，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为6的正三角形，二面角的大小为，则点
5、O到平面的距离为_，球O的表面积为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角B的大小；（2）设，若，且A，C都为锐角，求m的取值范围18（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知当时，且为的等比中项（1）求数列的首项的值；（2）设，求数列的前n项和19（本小题满分12分）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：，其频率分布直方图如图1所示今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫
6、力有显著效果经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示（1）健管中心从自身免疫力指标在内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X表示这3人中免疫力指标在内的人数，求X的分布列和数学期望；（2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍以健管中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位附：对于一组样本数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值
7、分别为20（本小题满分12分）如图，直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，点D在棱上运动（不包括端点）（1）若D为的中点，证明：；（2）设平面与平面所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围21（本小题满分12分）设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点22（本小题满分12分）已知函数（1）若在内是减函数，求a的取值范围；（2）已知，若，求的零点个数湖南师大附中2022届高三月考试卷（一）数学参考答案一、单项选择
8、题：1C【解析】由题设，则，所以，选C2B【解析】由，得，即，选B3A【解析】在上取点F，使，则四边形为平行四边形，得，从而平面，结论正确；作，垂足为M，因为平面平面，则平面，所以P假设，则平面，从而，这与为锐角矛盾，所以假设不成立，结论错误，选A4B【解析】因为，设，则因为，则为偶函数，其图象关于y轴对称，所以的图象关于直线对称，选B5D【解析】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A，“另一卦至少有两个阳爻”为事件B解法一：因为，所以，选D解法二：因为，所以，选D6A【解析】因为，则，即，所以在
9、中，令，则令，则，所以，选A7D【解析】设的最小正周期为T，由图知，则，所以因为，则，即，所以由题设，点，则因为的图象关于点A对称则A为线段的中点，所以，选D8C【解析】取的中点D，则因为，则，设，则，因为点，则，所以，得因为，则，解得，选C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9ACD【解析】由已知，则，所以为纯虚数，为实数，因为，则，选ACD10ABC【解析】设等比数列的公比为，由已知，整理得，解得或（舍去），所以因为，则，即，所以，选ABC11BC【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为
10、m和，则，即因为，则，即经检验，椭圆和满足要求，选BC12AB【解析】由已知，即则关于x的方程有正实根，所以因为，则，所以设，则二次函数的图象关于直线对称，且，若是的一个较小零点，则，即；若是的一个较大零点，则，即，选AB第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13【解析】设向量与的夹角为，因为，则由已知，则又，所以14【解析】由已知，则，所以153【解析】据题意，点A，B关于原点对称，设点，则两式相减，得，则因为，所以161，【解析】取的中点D，连接设E为的外心，则点E在上，且因为，则D为的外心根据球的几何性质，有平面平面因为二面角的大小为，平面平面，则二面角的大小为，所以因为是边
11、长为6的正三角形，则，所以在中，在中，因为，则，所以球O的半径，表面积四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解析】（1）由已知及正弦定理，得，即，即 （3分）由余弦定理，得因为，所以 （5分）（2）因为，则，得 （6分）所以 （8分）因为A，C都为锐角，则，所以 （10分）18【解析】（1）因为，则数列是公差为2的等差数列 （1分）则 （4分）由已知，则，即，即因为，则，所以 （6分）（2）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，则 （8分）由题设， （10分）所以 （12分）19【解析】（1）由直方图知，自身免疫力指标在内的人数为，在内的人数为，则X的
12、可能取值为1，2，3 （1分）其中 （4分）所以X的分布列为X123P （6分）（2）由散点图知，5组样本数据分别为，且x与y具有线性相关关系 （7分）因为，则，所以回归直线方程为 （10分）由直方图知，免疫力指标的平均值为 （11分）由，得，解得据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位 （12分）20【解析】解法一：（1）取的中点M，连接因为为正三角形，则由已知，则平面，所以 （2分）因为，则，所以，从而与互余，所以结合知，平面，所以 （5分）（2）分别延长相交于E，连接，则二面角的平面角为作，垂足为F，连接，则，所以 （6分）设，在中，由余弦定理可得，由等面积法可得因为，则 （9分）在中，
13、（10分）因为，则，所以 （12分）解法二：（1）分别取、的中点O、E，则直线两两互相垂直，以O为原点，直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 （1分）因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，D为的中点，则点， （3分）从而，则，所以 （5分）（2）设，则点 （6分）设为平面的法向量，由得取，则，所以 （9分）又平面的法向量，则因为，则，所以 （12分）21【解析】（1）设点，因为点M在抛物线C上，则得，即因为，则 （3分）因为，则，即，所以，化简得，解得，所以抛物线C的方程是 （5分）（2）设直线l的方程为，代入，得设点，则 （6分）设点则k，直线的方程为令，得，所以点 （8分）同理，点
14、（9分）设以线段为直径的圆与x轴的交点为，则 （10分）因为，则，即，则，得或故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和 （12分）22【解析】（1）因为在内是减函数，则当时，恒成立，即，即恒成立 （2分）设，则 （3分）由，得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而因为恒成立，所以a的取值范围是 （5分）（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减又当时，；当时，则函数的大致图象如图所示 （6分）因为，则直线与函数的图象有两个不同的交点，从而有两个变号零点，所以有两个不同的极值点设的两个极值点为，且则 （7分）当或时，因为，则，所以在，上单调递减；当时，因为，则，所以在上单调递增，从而的极小值点为，极大值点为 （9分）因为，则，所以在内有一个零点 （10分）因为，则当时，所以在内有一个零点 （11分）因为，则当时，所以在内有一个零点综上分析，有3个零点 （12分）