1、专题7 解析几何第32练 双曲线的渐近线和离心率问题双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 1.(2015四川)过双曲线 x2y231 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|等于()A.4 33B.2 3C.6D.4 3 体验高考 解析 12345 解析 2.(2016天津)已知双曲线x24y2b21(b0)，以原点为圆心
2、，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD的面积为 2b，则双曲线的方程为()A.x243y24 1B.x244y23 1C.x24y241D.x24y2121 1234512345A.mn且e1e21B.mn且e1e21 C.mn且e1e21D.mn且e1e21 3.(2016浙江)已知椭圆 C1：x2m2y21(m1)与双曲线 C2：x2n2y21(n0)的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则()解析 解析 由题意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又e21e22m21m2 n21n2 n21n22
3、n21n2 n42n21n42n2 11n42n21，e1e21.4.(2015上海)已知点P和Q横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2，若C1的渐近线为y 3x，则C2的渐近线方程为_.解析答案 y 32 x解析 设点 P 和 Q 的坐标为(x，y)，(x0，y0)，则有xx0，y2y0，故设C1的方程为3x2y2，又因为 C1 的渐近线方程为 y 3x，把点坐标代入，可得 3x204y20，令 0 3x2y0，即为曲线 C2 的渐近线方程，则 y 32 x.1234512345返回 解析答案 5.(2015北京)已知双曲线x2a2y21(a0)的一条渐
4、近线为 3xy0，则 a_.双曲线x2a2y21 的渐近线为 yxa，已知一条渐近线为 3xy0，33解析 直接求解双曲线的渐近线并比较系数.即 y 3x，因为 a0，所以1a 3，所以 a 33.高考必会题型 题型一 双曲线的渐近线问题 解析 例 1(1)已知直线 y1x 与双曲线 ax2by21(a0，b0)的右焦点为 F.点 A，B 分别在 C的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点).解析答案 点评 过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2 y0y1 与直线 AF 相交于点M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，
5、|MF|NF|恒为定值，并求此定值.变式训练 1 已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1与 C2的离心率之积为 154，则 C2的渐近线方程为()A.x 2y0 B.2xy0C.x2y0 D.2xy0解析 由已知，得 e11ba2，e21ba2，所以 e1e21ba4 154，解得ba12，即x2y0，故选C.所以 C2 的渐近线方程为 ybax12x，解析 题型二 双曲线的离心率问题 例 2(1)点 A 是抛物线 C1：y22px(p0)与双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1
6、的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于()A.2B.3C.5D.6解析 解析 点评(2)(2016课标全国甲)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2a2y2b21 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin F213，则 E 的离心率为()A.2B.32C.3D.2 解析 离心率 e|F1F2|MF2|MF1|，由正弦定理得 e|F1F2|MF2|MF1|sin Msin F1sin F22 23113 2.故选 A.解析答案 变式训练 2(2016上海)双曲线 x2y2b21(b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点
7、.(1)若 l 的倾斜角为2，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；解析答案(2)设 b 3，若 l 的斜率存在，且(F1A F1B)AB0，求 l 的斜率.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题 例 3 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ60，且OQ 3OP，则双曲线 C 的离心率为()A.74B.73C.72D.7解析 点评 返回 变式训练 3 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)以及双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2a2
8、y2b21(a0，b0)的离心率为()A.2 或2 33B.6或2 33C.2 或 3D.3或 6解析 由题意可知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线的倾斜角为 30或 60，则 kba 3或 33，则 ecac2a2a2b2a21b2a22 或2 33.解析 高考题型精练 12345解析 678910 11 121.(2015课标全国)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点.若MF1 MF2 0，b0)的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 B1，B2，两焦点为 F1，F2，若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，
9、则双曲线的离心率是()A.3 52B.512C.512D.3 52解析 12345678910 11 12 5.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()解析 12345678910 11 12A.3 B.2 C.3D.2 解析 6.若实数 k 满足 0k0，b0)的右焦点，O 是双曲线 C 的中心，直线 y mx 是双曲线 C 的一条渐近线，以线段 OF 为边作正三角形AOF，若点 A 在双曲线 C 上，则 m_.12345678910 11 1232 3答案 解析 8.设 P 为直线 y b3ax
10、 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e_.12345678910 11 12解析答案 解析 设 P(x，b3ax)，则由题意，知 c|x|，因为 PF1 垂直于 x 轴，则由双曲线的通径公式知|b3ax|b2a，3 24即 b3acb2a，所以 bc3.又由 a2c2b2，得 a289c2，所以 eca3 24.9.(2016山东)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_.解析答案
11、12345678910 11 12又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，2 解析 由已知得|AB|2b2a，|BC|2c，22b2a 32c，两边同除以 a2 得 2ca23ca20，即 2e23e20，解得 e2 或 e12(舍去).12345678910 11 1210.已知A(1，2)，B(1，2)，动点P 满足APBP，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.再由b2c2a2，(1，2)解析 根据条件APBP，可得 P 点的轨迹方程 x2(y2)21，求出双曲线的渐近线方程 ybax，运用圆心到直线的距离大于半径
12、，得到3a2b2，又双曲线离心率e1，所以1e2.得出离心率 eca0，b0)的左，右焦点，点 F1 关于渐近线的对称点恰好在以 F2 为圆心，|OF2|(O 为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为_.答案 解析 12345678910 11 12解析答案 12.已知双曲线 C1：x2y241.(1)求与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P(4，3)的双曲线 C2 的标准方程；返回 解析答案(2)直线 l：yxm 分别交双曲线 C1的两条渐近线于 A、B 两点，当OAOB3 时，求实数 m 的值.解 双曲线C1的两条渐近线为y2x，y2x，由y2x，yxm 可得 xm，y2m，A(m，2m)，由y2x，yxm可得 x13m，y23m，B(13m，23m)，OA OB 13m243m2m2，OA OB 3，m23，m 3.12345678910 11 12本课结束 更多精彩内容请登录：
