1、选修2-2 1.3.2一、选择题1函数y2x2x3的极值情况是()A有极大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C既无极大值也无极小值D既有极大值又有极小值答案D解析令y2x3x20，得x0或x.又x时y0，y2x2x3为增函数；x(0，)时，y0，y2x2x3为减函数该函数既有极大值，又有极小值2函数yf(x)x33x的极大值为m，极小值为n，则mn为()A0B1C2 D4答案A解析y3x23，令y0，得3(x1)(x1)0，解得x11，x21，当x0；当1x1时，y1时，y0，函数在x1处取得极大值，mf(1)2；函数在x1处取得极小值，nf(1)2.mn2(2)0.3函数yf(x)(x21
2、)31在x1处()A有极大值 B有极小值C无极值 D无法判断极值情况答案C解析f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2虽有f(1)0，但f(x)在x1的左右不变号，函数f(x)在x1处没有极值故选C.4函数yx31 的极大值是()A1 B0C2 D不存在答案D解析y3x20在R上恒成立，函数yx31在R上是单调增函数，函数yx31无极值5对于函数f(x)x33x2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的递增区间为(，0)，(2，)，递减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4 个答案B解析f
3、(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得0x0，在上y0.x时y极大，又x(0,1)，ymax.故选A.9已知函数f(x)x2x，则下列结论正确的是()A当x时f(x)取最大值B当x时f(x)取最小值C当x时f(x)取最大值D当x时f(x)取最小值答案D解析f(x)2xx2xln2，令f(x)0，得x，又当x时，f(x)时，f(x)0，当x时，f(x)取最小值故选D.10函数yax3bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则()Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2b0答案D解析y3ax22bx，由题设知0和是方程3ax22bx0的两根，a2b0.故选
4、D.二、填空题11已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)令3x26ax3(a2)0，由题意知：方程3x26ax3(a2)0有两个不同的实根，36a236(a2)0，解得a2或a1.12若函数y2x33x2a的极大值是6，则a_.答案6解析y6x26x6x(x1)，易知函数f(x)在x0处取得极大值6，即f(0)6，a6.13函数f(x)sinxcosx ，x的最大、最小值分别是_答案，1解析f(x)cosxsinx0，tanx1，x，x，当x0，x时，f(x)0，x是函数f(x)的极大值点f1
5、，f1，f.f(x)的最大值为，最小值为1.14已知f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是_答案(0,1)解析f(x)3x23b3(x2b)因为函数f(x)在(0,1)内有极小值，故方程3(x2b)0在(0,1)内有解，所以01，即0b1.三、解答题15求函数f(x)x2ex的极值解析函数的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0.当x2时，函数有极大值，且f(2).16
6、已知函数f(x)x33x29x11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有，试写出极值解析f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x11，x23.x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值16极小值16(1)由表可得函数的递减区间为(1,3)；(2)由表可得，当x1时，函数有极大值f(1)16；当x3时，函数有极小值f(3)16.17已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最
7、小值解析(1)f(x)3x26x93(x22x3)3(x3)(x1)令f(x)0，则3(x3)(x1)0，解得x3.函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)令f(x)0，x2,2，x1.当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0.x1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在2,2上的最小值，即f(x)minf(1)a5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)81218aa22，f(2)81218aa2.a22a2，f(x)maxa2220，a2.此时f(x)mina57.18(2010安徽理，17)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区
8、间及极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.解析本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明(1)由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)的最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.
