1、湖北省沙市2022高三上学期第二次月考数学试卷考试时间：2022年9月28日一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 2已知，与的夹角为，则（ ）A. 6B. C. D. 3若点P是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可
2、以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟莫高窟三层楼16号窟藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（ ）A. B. C. D. 5已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线与轴交于点，且，则点到准线的距离为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 7已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 8已知椭圆：与双曲线有公共的焦点
3、，为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）A. 9B. C. 7D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：）的折线图如图，则（ ）A. 1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月B. 1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系C. 1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小D. 1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大10已知是两个不同平面，是两条不同直线，
4、则下述正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若是异面直线，则与相交D. 若，则11已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（ ）A. 圆恒过原点B. 圆与圆内切C. 直线被圆所截得弦长的最大值为D. 直线与圆相离12已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13在的展开式中，x的系数是_（用数字作答）.14若直线（，）被圆所截得的弦长为6，则的最小值为_.15已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值_.16矩形中
5、，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为_；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.18已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，（1）求角B的大小；（2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度的面积为；的周长为19在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱AP的中点，且，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正
6、弦值.20我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30的概率为，收益率为的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30的概率为0.4，收益率为的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：年份x20182019202020211234累计投资金额y（单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末
7、，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元附：收益投入的资金获利的期望；线性回归中，21设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.()求椭圆的方程()设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.22已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围.数学答案1. 【答案】B【详解】解：由题得，所以复数在复平面内对应的点的坐标是.故选：B2. 【答案】A【详解】故选：A3.【答案】A【详解】由题意可知，若
8、，则，或1（舍去），若，或13，故“”是“”的充分不必要条件故选：A4. 【答案】B【详解】8个开放洞窟中有3个最值得参观，所求概率为故选：B5. 【答案】B【详解】解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，由题知，即 因为，所以 所以，所以点到准线的距离为.故选：B6. 【答案】A【详解】由已知，为奇函数，排除BD；又时，时，即时，所以恒成立，排除C故选：A7. 【答案】C【详解】球O的半径为R，则，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距离为，故三棱锥的高的最大值为3，体积最大值为故选：C8. 【答案】B【详解】记椭圆中的几何量为a，b，c，双曲线中的几何量为，则由椭圆和双曲线定义可得，两
9、式平方相减整理得，记，则由余弦定理得2-得由面积公式可得，即，代入整理得，因为，所以，所以，得，所以，即，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：B9. 【答案】BD【详解】1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是1月，故A选项错误；1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系，故B选项正确；最高气温与最低气温的差不稳定，故C选项错误；最低气温的极差超过35，最高气温的极差约为25，故D选项正确故选：BD10. 【答案】BD【详解】解：对于A选项，当，与相交时，故错误；对于B选项，线面垂直与线面平行性质知当，则，正确；对于C选项，若是异面直线，则与相交或，故错误；对于D选项，根据线
10、面垂直的判定定理得：若，则，故正确.故选：BD11. 【答案】ABC【详解】A.代入点得恒成立，A正确；B.，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；C. 直线被圆所截得弦长为，即直线被圆所截得弦长的最大值为，C正确；D.圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，D错误；故选：ABC.12. 【答案】ACD【详解】由是递增数列，得；又，所以，所以，所以，故选项A正确；，故B不正确；由是递增数列，得，又，所以，所以，所以，故选项C正确；所以，所以，又，所以，而，当时，；当时，可验证，所以对于任意的，故选项D正确故选：ACD13.【答案】240【详解】的展开式的通项为：，当，即时，展开式x的系数为：.当
11、显然不成立；故答案为：24014. 【答案】8【详解】由题意圆标准方程是，圆的圆心为，半径为，弦长为6，则弦为直径，已知直线过圆心，所以，即，当且仅当即时等号成立故答案为：815.【答案】【详解】由对称性不妨设P在x轴上方，设，当且仅当取等号，直线l上存在点P满足即，即，所以，故椭圆离心率的最大值为.故答案为：.16.【答案】； . 【详解】解：已知矩形中，在矩形中，连接和交于点，可知点是四面体外接球的球心，则外接球的半径，所以该四面体外接球的体积；在四面体中，作交于点，交于点，再作交于点，则，所以二面角的平面角为，则，在矩形中，可知，所以是等边三角形，由四面体可知，则，而即，所以当在内变化时
12、，则，即的范围为.故答案为：；.17. 【答案】（1） （2）【小问1详解】设等差数列公差为，由题意，解得，所以；【小问2详解】由（1），所以，易知是递增的且，不等式对任意的都成立，则，所以18.【答案】（1） （2）答案见解析【小问1详解】，则由正弦定理可得，解得【小问2详解】若选择（1），由（1）可得，即则，解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：19.【答案】(1)证明见解析；(2).(1)在等腰梯形中，取中点N，连结，如图，因M为棱的中点，则，且，即四边形为平
13、行四边形，则，而平面，平面，所以平面.(2)取中点Q，中点O，连结，有，且，四边形是平行四边形，则，则有，且，正中，而，因此，且，而，平面，则平面，平面，有平面平面，由，得，在平面内作，平面平面，即有平面，以O为原点，射线OB，OD，Oz分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，有，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20. 【答案】（1）该风投公司投资光刻胶项目； （2）；2022年年末【小问1详解】若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为0.3Pp所以若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为0.30P0.40.10.5所
14、以因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以，所以因为，所以，这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目【小问2详解】，则，故线性回归方程为设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得，故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元21. 【答案】（1） （2）存在定点P(1,0)【详解】(1)由题意知，解得：，故椭圆C的方程是 (2)由得(4k23)x28kmx4m2120因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此
15、时x0，y0kx0m，所以M(由得N(4,4km)假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上设P(x1,0)，则对满足(*)式的m、k恒成立因为(，(4x1,4km)，由，得-4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*) 由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.22. 【答案】（1）答案见解析； （2）【小问1详解】的定义域是，时，时，时，的减区间，增区间是；时，或时，时，的增区间是和，减区间是；时，恒成立，增区间是，无减区间；时，或时，时，的增区间是和，减区间是；【小问2详解】，由题意有两个不等正根，又，所以，由题意，设，则，在上递减，又，所以由，得综上，