1、提升考能、阶段验收专练卷(四)立体几何(时间：70分钟满分：104分).小题提速练(限时45分钟)(一)选择题(本大题共12小题，每小题5分)1(2016浙江五校联考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选D依题意，结合三视图知识知D项符合2(2016辽宁葫芦岛模拟)设x，y，z表示直线(彼此不同)或平面(不重合)，则“xy”成立的一个充分条件是()Ax，y，z都是平面Bx，y，z都是直线Cx是直线，y，z是平面 Dx，y是平面，z是直线解析：选D依题意，注意到由定理“垂直于同一直线的两个平面相互平行”得知D选项正确3(2016成都检测)已知m，n是两条
2、不同的直线，为平面，则下列命题正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m与相交，n与相交，则m，n一定不相交解析：选CA中的m，n还可能异面、相交，所以A不正确；B中的m，n应该平行，所以B不正确；D中的m，n异面、平行、相交均可能，所以D不正确4(2016杭州质检)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A两条相交直线 B两条平行直线C两个点 D一条直线和直线外一点解析：选C如图，在正方体ABCDEFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE
3、，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点5.(2015山西质监)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为()A. B6C.3 D4解析：选A侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为326.等腰三角形的底边为，高为，其面积为，所以侧视图的面积为6.6(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B2C12 D2解析：选B根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面
4、ABD底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积2212()22.7(2015四川成都押题)对于空间中的三条不同的直线，有下列三个条件：三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选B中，三条直线两两平行有两种情况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面中，三条直线共点最多可确定3个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种情况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面中，条件一定能推出三条直线共面故只有是空间中三
5、条不同的直线共面的充分条件8已知矩形ABCD，AB1，BC.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析：选B最简单的方法是取一长方形纸动手按照其要求进行翻折，观察翻折过程，即可知选项B是正确的9某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A2 B.C. D3解析：选D根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示则体积V2x3，解得x3.10在
6、三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为()A2 B6C4 D24解析：选B设两两垂直的三条侧棱分别为a，b，c，可以得到ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以2R，所以球的表面积为S4R26.11如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ()A.a B.aC.a D.a解析：选A平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，B1D1PQ.又B1D1BD，
7、BDPQ.设PQABM，ABCD，APMDPQ，2，即PQ2PM.又知APMADB，PMBD，又BDa，PQa.12.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN平面AEF，所以点P位于线段MN上，把A1MN置于平面上，则有A1MA1N，MN ，所以当点P位于M，N时，A1P最大，当P位于线段MN的中点O时，A1P最小，此时A1O，所以A1OA1PA1M，即A1
8、P，所以线段A1P长度的取值范围是.(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13如图，点M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为_解析：由正投影可知三视图的形状答案：14(2016浙江瑞安四校联考)给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为
9、真命题的是_解析：由面面平行的判定定理可知不正确；由面面垂直的判定定理可知正确；垂直于同一直线的两条直线可能相互平行、相交，也可能异面，所以不正确；由面面垂直的性质定理可知正确答案：15在正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且BMC90，则的值为_解析：如图，连接OB，设正四面体的棱长为a，则OBa，MBa，故OMaAO，则1.答案：116.如图，在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_解析：作CHAB于H，连接PH.PC平面ABC，PHAB，PH为PM的最小值，则CH2，PC4，PH2.答案：
10、2.大题规范练(限时20分钟)17. （本小题满分12分）(2016西安八校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF.(1)若G为FC的中点，证明：AF平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，因为点G为FC的中点，所以OGAF.因为AF平面BDG，OG平面BDG，所以AF平面BDG.(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，所以M，Q，F，E四点共面作FPMQ于P，ENMQ于N，则ENFP且ENFP.连接EM，FQ，因为AEDE
11、BFCF，ADBC，所以ADE和BCF全等，所以EMFQ，所以ENM和FPQ全等，所以MNPQ1，因为BFCF，Q为BC中点，所以BCFQ，又BCMQ，FQMQQ，所以BC平面MQFE，所以PFBC，所以PF平面ABCD.以P为原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3,1,0)，B(1,1,0)，C(1，1,0)，设F(0,0，h)，则(3，1，h)，(1,1，h)因为AFCF，所以0，解得h2.设平面ABF的法向量n1(x1，y1，z1)，(3，1,2)，(1，1,2)，由得令z11，得x10，y12，即n1(0,2,1)是平面ABF的一个法向量同理得平面BCF的一个
12、法向量为n2(2,0,1)，所以cosn1，n2，所以平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为.18（本小题满分12分）(2016河北五校联考)如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，BAD120，PAb.(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为2，求的值解：(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.又底面ABCD为菱形，所以ACBD，因为PAACA，所以BD平面PAC，从而平面PBD平面PAC.(2)法一：如图，过O作OHPM交PM于H，连接HD.由DO平面PAC，可以推出DHPM，所以OH
13、D为二面角OPMD的平面角又ODa，OM，AM，且，从而OH，tanOHD2，所以9a216b2，即ab43.故的值为.法二：如图，以A为原点，AD，AP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0，b)，D(0，a,0)，M，O.从而(0，a，b)， ，.因为BD平面PAC，所以平面PMO的一个法向量为.设平面PMD的法向量为n(x，y，z)，由得令yb，得xb，za，即n.设与n的夹角为，则二面角OPMD的大小与相等，由tan 2，得cos ，cos ，化简得4b3a，即.附加卷：立体几何(教师备选)(时间：65分钟满分：104分).小题提速练(限时45分钟)(一)选择题(本大
14、题共12小题，每小题5分)1.(2016吉林质监)已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则它的俯视图可能是()解析：选C根据三视图原则，可以将其中两个视图结合起来，看另一视图是否符合，依次判断即可，易知只有选项C符合2(2015绵阳二诊)已知l，m，n是三条不同的直线，是不同的平面，则下列条件中能推出的是()Al，m，且lmBl，m，n，且lm，lnCm，n，mn，且lmDl，lm，且m解析：选D注意到由A，B，C均不能得知.对于D，由lm，m得l，又l，因此有，综上所述，故选D.3(2016陕西渭南期末质检)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的
15、圆，则这个几何体的表面积为()A2B4C6 D8解析：选C依题意，题中的几何体是一个圆柱，其中底面半径是1，高是2，因此其表面积等于2122126.4已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的值是()A3 B2C6 D8解析：选C四棱锥如图所示，PM3，PN，SPDC42，SPBCSPAD233，SPAB436.所以四个侧面中面积最大的是6.5.(2016邢台摸底)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.解析：选D依题意得，题中的几何体是从棱长为1的正方体ABCDABCD中截去三棱锥AABD后剩
16、余的部分，因此该几何体的体积等于131.6(2016潍坊模拟)已知，表示平面，m，n表示直线，m，给出下列四个结论：n，n；n，mn；n，mn；n，mn.则上述结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选Bn，只有当n与，的交线垂直时，才有n，所以错误；由m，n，得mn，正确；由m，得m或m，所以n，m，n可能平行、相交或异面，错误；n，mn，正确，所以正确结论的个数是2.7(2016湖北七市联考)某个几何体的三视图如图所示，其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为()A9224 B8224C9214 D8214解析：选C依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半
17、个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4,5,4，圆柱的底面半径是2，高是5，因此该几何体的表面积等于3(45)2(44)22(22)59214.8(2015杭州质检)设l是一条直线，是不同的平面，则在下列命题中，假命题是()A如果，那么内一定存在直线平行于B如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于C如果，l，那么lD如果，l与，都相交，则l与，所成的角互余解析：选D如果，那么内一定存在直线平行于，即命题A正确；如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于，即命题B正确；如果，l，那么l，即命题C正确；如果，l与，都相交，那么l与，所成的角不一定互余，即命题D不正确9已知正四棱柱ABCD A1B1C
18、1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C取DD1的中点F，连接CF，D1CF即为异面直线BE与CD1所成的角或其补角，取AB1，cosD1CF.故直线BE与CD1所成角的余弦值为.10已知两个不同的平面，和两条不重合的直线m，n，则下列命题不正确的是()A若mn，m，则nB若m，m，则C若m，mn，n，则D若m，n，则mn解析：选D如图所示，对于选项A，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1BB1，AA1平面ABCD，且BB1平面ABCD，分别将AA1，BB1当作直线m，n，平面ABCD视为平面，可知A选项正确；对
19、于选项B，AA1平面ABCD，AA1平面A1B1C1D1，且有平面ABCD平面A1B1C1D1，把直线AA1当作直线m，平面ABCD与平面A1B1C1D1分别当作平面，可知B选项正确；对于选项C，AA1平面ABCD，AA1BB1，BB1平面BB1C1C，且平面ABCD平面BB1C1C，分别把AA1，BB1当作直线m，n，平面ABCD与平面BB1C1C当作平面，可知C选项正确；AB平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1平面AA1D1DA1D1，但直线AB与A1D1异面，分别把直线AB，A1D1当作直线m，n，把平面A1B1C1D1，平面AA1D1D分别当作平面，可知选项D错误11.如图所示，
20、在斜三棱柱ABC A1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：选ABAC90，ABAC.又ACBC1，BC1ABB，AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC平面ABC1.平面ABC1平面ABCAB，点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上12(2016昆明质检)已知球O的半径为，球面上有A，B，C三点，如果ABAC2，BC2，则三棱锥OABC的体积为()A. B.C1 D.解析：选D如图所示，由ABAC2，BC2，可知ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，取BC边中点O1，则OO1，此三棱锥O
21、ABC的体积为V22.(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13假设平面平面EF，AB，CD，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，现有下面四个条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与BD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BDEF.故要证BDEF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有能保证这一条件答案：14.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线
22、AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)解析：由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且为60.答案：15在三棱锥P ABC中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是_解析：三棱锥中两条相对的棱所在的直线是异面直线，共有3对，从6条棱中任取两条，利用列举法可知有15种取法，取到两条棱异面的概率是.答案：16一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为_解析：该几何体是棱长为
23、1的正八面体，其表面积为811sin 602，其外接球的半径为，故外接球表面积为422，所以所求比值为.答案：.大题规范练(限时20分钟)17（本小题满分12分）(2016潍坊模拟)如图，在几何体ABC A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且ABBC，AA1BB14，ABBCCC12，E为AB1的中点(1)求证：CE平面A1B1C1；(2)求二面角B1 AC1 C的大小解：(1)证明：由题知AA1平面ABC，BB1平面ABC，CC1平面ABC，AA1BB1CC1.取A1B1的中点F，连接EF，FC1，E为AB1的中点，EF綊A1A.AA14，CC12，CC
24、1綊A1A，EF綊CC1，四边形EFC1C为平行四边形，CEC1F.CE平面A1B1C1，C1F平面A1B1C1，CE平面A1B1C1.(2)由题知，ABBC，又BB1平面ABC，BB1AB，BB1BC，故以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，(2,2,0)，(0,0,2)，(2,0,4)，(0,2，2)设平面ACC1的法向量m(x1，y1，z1)，则m0，m0，令x11，得m(1,1,0)，设平面AB1C1的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，令z21，
25、n(2,1,1)cosm，n.由图知，二面角B1 AC1 C是钝角，二面角B1 AC1 C的大小为150.18（本小题满分12分）(2015广东高考)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值解：法一：(1)证明：在PCD中，E为CD的中点，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD.又FG平面ABCD，PEFG
26、.(2)由(1)知PE平面ABCD，且AD平面ABCD，PEAD.又四边形ABCD是长方形，ADCD.又PECDE，AD平面PCD，ADPD，PDE为二面角PADC的平面角ABCD6，DE3.在RtPED中，PE ，tanPDE，所求二面角PADC的正切值为.(3)如图，连接AC，在ABC中，AF2FB，CG2GB，FGAC.由异面直线所成角的定义，知直线PA与直线FG所成角的大小等于PAC的大小在RtPDA中，PA5，AC3，PC4，在PAC中，由余弦定理知，cosPAC，直线PA与直线FG所成角的余弦值为.法二：在PCD中，E为CD的中点，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且
27、平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD.取AB的中点H，连接EH.四边形ABCD是长方形，EHCD.如图，以E为原点，EH，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，PDPC4，AB6，BC3，AF2FB，CG2GB，E(0,0,0)，P(0,0，)，F(3,1,0)，G(2,3,0)，A(3，3，0)，D(0，3,0)(1)证明：(0,0，)，(1,2,0)，且(0,0，)(1,2,0)0，即EPFG.(2)PE平面ABCD，平面ABCD的法向量为(0,0，)设平面ADP的一个法向量为n(x1，y1，z1)，(3,3，)，(0,3，)，由于即令z13，则x10，y1，n(0，3)由图可知二面角PADC是锐角，设为，则cos .sin ，tan .二面角PADC的正切值为.(3)(3,3，)，(1,2,0)，设直线PA与直线FG所成角为，则cos .直线PA与FG所成角的余弦值为.