1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.
2、(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a0，b0，a，b共线x1y2x2y10.1若a与b不共线，且ab0，则0.2若G是ABC的重心，则0，()一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知平面向
3、量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D(1,2)Da(1,1)，b(1，1)，a，bab(1,2)，故选D.2已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_(1,5)设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得3已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量_.(7，4)根据题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)4已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则_.由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，
4、所以.考点1平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理1.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2De13e2与6e22e1D选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)
5、，所以两向量是共线向量故选D.2在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A.B.C.D.1A因为M为边BC上任意一点，所以可设xy(xy1)因为N为AM的中点，所以xy.所以(xy).故选A.3.如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解ab，ab，ab.ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算考点2平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线
6、段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)母题探究(变结论)本例条件不变，若ambnc，则m_，n_.11mbnc(6mn，3m8n)，a(5，
7、5)，解得求解此类问题的过程中，常利用“向量相等，其对应坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C.(3,2)D.(1,3)A设D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故选A.2向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b为()A(3,4)B(3,4)C(3，4)D(3，4)Aab(1,5)，ab(5，3)，a(2,1)，b(3,4)，故选A.3.向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若cab(，R)，则()A1B2C3D4D以O为坐标原点，建立坐标系可得a(1,1
8、)，b(6,2)，c(1，3)cab(，R)解得2，.4.考点3向量共线的坐标表示两平面向量共线的充要条件有2种形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)已知b0，则ab的充要条件是存在唯一实数，使得ab(R)利用向量共线求向量或点的坐标一题多解已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_(3,3)法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)法二：设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线
9、，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)利用两向量共线的条件求向量坐标的方法：一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量利用向量共线求参数(1)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.(2)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_(1)45(2)(1)由ab，得(1sin )(1sin )，cos2，cos 或cos ，又为锐角，45.(2)(a1,3)，(3,4)根据题意，4(a1)3(3)0，即4a5，a.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.