1、宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理第I卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求） 1.命题“若，则”的逆否命题是()A若，则 B若，则 C若，则 D若，则2.“”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.命题“”的否定是()A B C D4.方程所表示的曲线形状是()A B C D5.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D相切或相交6.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则()A B C D与斜交7.焦点在轴上，右焦点到短轴端点的
2、距离为，到左顶点的距离为的椭圆的标准方程是()A B C D8.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A B C D9.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为()A B C D10.如图所示，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点若四边形是矩形，则的离心率是()A B C D11.在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是()A B C D12.已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为()A B C D第卷二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分） 13.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是_14.直线被
3、抛物线截得的线段的中点坐标是_15.如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为_16.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，对于结论：；是平面的法向量；.其中正确的是_三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.如图，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段的长18.已知，(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围19.如图，正方体中，、分别为、的中点选用合适的方法证明以下问题：(1)证明平面平面；(2)证明面.20.设是圆上
4、的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)求过点且斜率为的直线被截得的线段的长度21.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，且，平面，分别是线段，的中点，(1)证明：；(2)判断并说明上是否存在点，使得平面.22.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、.(1)若为等边三角形，求椭圆的方程；(2)若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于、两点，且，求直线的方程答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答
5、案】【解析】由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为.14.【答案】(3,2)【解析】设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，将yx1代入y24x，整理得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2，所求点的坐标为(3,2)15.【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面ABC1的一个法向量为n(x，y,1)，则有解得n，则所求距离为.16.【答案】【解析】由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确17.【答案】解(1)由焦点F
6、(1,0)，得1，解得p2，所以抛物线的标准方程为y24x，其准线方程为x1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线l的方程为y(x1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得4x217x40，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p2，所以线段AB的长为.18.【答案】解(1)由(x1)(x5)0得1x5，p是q的充分条件，解得m4.(2)当m5时，q：4x6，根据已知，p，q一真一假，当p真q假时，无解；当p假q真时，解得4x1或5x6.综上，实数x的取值范围是4，1)(5,6.19. 【答案】给出用向量方法的证明，此题用空间几何的证明法则证明也可(1)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱
7、长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，设平面A1BD的法向量为m(x，y，z)，(2,0,2)，(2,2,0)，取m(1,1,1)，同理平面B1CD1的法向量为n(1,1,1)，mn，平面A1BD平面B1CD1；(2)M、N分别为AB、B1C的中点，(1,1,1)，m，MN面A1BD.20.【答案】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xp，yp)，由已知，得因为P在圆上，所以x2(y)225，即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2
8、，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.则(3)232410，x1x23，x1x28，所以线段AB的长为|AB|.21.【答案】PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)(1)不妨令P(0,0，t)，(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00，即PFFD；(2)设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得xy，n，设点G的坐标为(0,0，m)，又E，则，要使EG平面PFD，只需n0，即0m10，即m0，解得mt，从而满足AGAP的点G即为所求22.【答案】(1)设椭圆C的方程为1(ab0)根据题意知，a2b，a2b21，解得a2，b2，故椭圆C的方程为1.(2)易求得椭圆C的方程为y21.当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)由得(2k21)x24k2x2(k21)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k.故直线l的方程为xy10或xy10.