1、南昌三中2016-2017学年度下学期3月考高二数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A. 三角形 B. 四边相等的四边形C. 梯形 D. 平行四边形【答案】B【解析】试题分析：A、由不共线的三点确定一个平面和图形知，三角形是平面图形，故A不对；B、当空间四边形的四边相等时，是空间几何体而不是平面图形，故B对；C、因梯形的一组对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，梯形是平面图形，故C不对；D、因平行四边形的对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，平行四边形是平面图
2、形，故D不对考点：构成空间几何体的基本元素2. 用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设（ ）A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于【答案】B【解析】试题分析：命题的反面是：三个内角都大于，故选B.考点：反证法.3. 设f(n)1 (nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得：本题选择D选项.4. 下列命题正确的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线平行C. 与某一平面成等角的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行【
3、答案】D【解析】逐一分析所给选项：A. 平行于同一平面的两条直线不一定平行 B. 垂直于同一直线的两条直线不一定平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行本题选择D选项.5. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A. 2 B. C. D. 1【答案】A【解析】平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为，平面图形的面积.本题选择A选项.6. 设是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中错误的是()A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若
4、 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】由空间中的线面关系，若 ，则有可能在平面内，即D的说法是错误的.本题选择D选项.7. 老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（）两人说对了A. 甲 丙 B. 乙 丁 C. 丙 丁 D. 乙 丙【答案】D【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确。本题选择D选项.
5、8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r,则，解得，故米堆的体积为，1斛米的体积约为1.62立方，32091.6222，本题选择B选项.9. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何
6、体的外接球体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得：该几何体是由正方体截割得到，如图中三棱锥A-BCD，由三视图中的网络纸上小正方形边长为1，得该正方体的棱长为2，则该四面体外接球的体积为 .本题选择D选项.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑10. 已知四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形,AC、BD相交于点O , , ， E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上
7、运动，并且总保持， 则动点P的轨迹的周长为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，轨迹的周长为.本题选择C选项.11. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，O为坐标原点若AOB的面积为，则双曲线的离心率为 ()A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程是，又抛物线y2=4x的准线方程为x=1，双曲线的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，A,B两点的纵坐标分别是和，AOB的面积为,，.本题选择B选项.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心
8、率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解(2)求曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程.12. 已知函数在处取得最大值，以下各式中：，正确的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】求导函数,可得令g(x)=x+1+lnx,则函数有唯一零点,即x0，x01=lnx0f(x0)=(x01) =x0，即正确，x01=lnx0，时,x0在左侧，12x00，正确综上知，正确本题选择A选项.二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25
9、分)13. n为正奇数时，求证：xnyn被xy整除，当第二步假设n2k1命题为真时，进而需证n_，命题为真【答案】2k1【解析】题中是数学归纳法是关于所有正奇数的命题，之后的正奇数为，据此可得第二步假设n2k1命题为真时，进而需证n2k1，命题为真14. 某四棱锥的三视图所示，该四棱锥的体积为_【答案】3【解析】试题分析：观察三视图可知，该四棱锥底面为边长为的正方形，四棱锥的高为，所以几何体的体积为考点：1.三视图；2.几何体的体积.15. 观察下列等式：1，11，据此规律，第n个等式可为_【答案】1【解析】试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1
10、，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.考点：归纳推理.16. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是_.【答案】【解析】由类比推理，把线段长类比为三角形的面积，有三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程是，点的直角坐标为，直线过点，且倾斜角为，
11、（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的值【答案】（1）；（2）2.【解析】试题分析：(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程是；(2)由参数方程的几何意义可得.试题解析：（1）由得 , 曲线的直角坐标方程为,即.（2）将代入曲线的方程化简得 设两点对应的参数分别为、,则 18. 当是正整数时，比较并证明与的大小【答案】见解析.【解析】试题分析：解：当n=1时,; 分当n=4时,=; 4分当n=5时,; 当n=6时,猜想：当时,分下面下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立 分（2）假设n=k（）时猜想成立，即分则，当时，从而所以当n
12、=k+1时，猜想也成立 9分综合（1）（2），对猜想都成立 10分考点：数学归纳法.19. 如图所示的多面体，四边形是边长为2的正方形，面面，四边形为矩形，长为，为的中点，.(1)求证： 平面；（2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意可证得，结合线面平行的判断定理可得 平面；(2)转化顶点：.试题解析：（1）证明：取中点，连接，四边形为平行四边形，平面，平面， 平面（）面面，正方形中，所以平面，所以，若，则平面，在矩形中，得点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另
13、一条侧棱作为高来求体积20. 已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E。（1）求证：AP平面BDE；（2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥PABC所成上、下两部分的体积比。【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1：2.【解析】试题分析：(1)由题意可证得由已知，结合线面垂直的判断定理可得AP平面BDE；(2)结合(1)的结论由二面角的平面角为90即可证得面面垂直；(3)由空间几何体的特征可得截面BEF分三棱锥PABC所成上、下两部分的体积比为1：2.试题解析：（1）证明：平面ABC， ，由AB=
14、BC，D为AC的中点，得又又由已知 （2）（方法一）由由D、F分别为AC、PC的中点，得DF/AP， 由已知： 又（方法二）由（1） 为二面角EBDF的平面角由D、F分别为AC、PC的中点，得DF/AP由已知： （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为则故截面BEF分三棱锥PABC所成上、下两部分体积的比为1：2。21. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程; （2）当时，求证:.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由导函数研究函数的切线可得切线方程为. (2)由题意构造新函数，结合新函数的特征函数的最值、单调性即可证得题中的不等式.试题解析：（1）依题意，,故,因为
15、,故所求切线方程为. （2）,令，故，可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为在时取得的极大值，并且也是最大值，即.又.设,则, 所以的单调递增区间为，单调递减区间为,所以,又，即.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22. 如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点。（1）求证：直线过定点并求点的坐标；（2）求三角形面积的最大值。【答案】（1）直线过定点；（2）.【解析】试题分析：(1)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得直线过定点；(2)由题意得到三角形的面积函数，然后结合均值不等式的结论可得三角形面积的最大值是.试题解析：（1）显然直线不垂直轴，设的方程为， 由得.由得或设， ，则 直线方程为， 化简得：，将代入得直线过定点（2）当且仅当即时取等号。