1、单元评估检测（三）（第三章）（120分钟 160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)1.(2011新课标全国卷改编)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=_.2.(2011福建高考改编)若(0，)，且sin2+cos2=，则tan的值等于_.3.(2012镇江模拟)函数f(x)=(sinx-cosx)2的最小正周期为_.4.将函数ysinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_.5.(2012宿迁模拟)函数y=sin4x+cos4x
2、的单调递增区间为_.6.(2012扬州模拟)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若则角C的大小为_.7.若，(0，)，cos ()，sin()，则cos()的值等于_.8.已知f(x)sinxcosx(xR)，函数yf(x)(|)的图象关于直线x0对称，则的最小正值为_.9.已知tan和tan()是方程ax2bxc0的两个根，则a、b、c的关系是_.10.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树顶的仰角为30，45，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为_.11.定义一种新运算：(a1，a2)(a3，a4)a1a4a2a3，将函数f(x)(，
3、2sinx)(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_.12.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30,塔底B的俯角为15，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_米.13.给出下列命题：存在实数x，使得sinx+cosx=若,为第一象限角，且,则tantan;函数的最小正周期为5;函数y是奇函数；函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin(2x+)的图象，其中正确命题的序号是_.(把你认为正确命题的序号都填上)14.在ABC中，D为边BC上一点，BDCD，ADB1
4、20，AD2.若ADC的面积为，则BAC_.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知sin，求tan()的值.16.(14分)已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B8cosB50，求角B的大小，并判断ABC的形状.17.(14分)(2012南京模拟)已知函数f(x)sin(x)，其中0，(1)若求的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.
5、18.(16分)(2012南通模拟)已知向量=(1,cosx),=(sinx,)(0)，函数f(x)=的图象上一个最高点的坐标为(,2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(,-2).(1)求f(x)的解析式.(2)在ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2=b2-ac，求角B的大小以及f(A)的取值范围.19.(16分)(2012泰州模拟)如图，矩形ABCD是机器人踢足球的场地,AB=170 cm,AD=80 cm，机器人先从AD的中点E进入场地到点F处，EF=40 cm，EFAD.场地内有一小球从B点沿BA运动，机器人从F点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直
6、线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？20.(16分)已知锐角ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，(1)求A的大小；(2)求cosBcosC的取值范围.答案解析1.【解析】在角终边上任取一点P(a,2a)(a0)，则r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2,cos=cos2=2cos2-1=答案：2.【解析】sin2+cos2=,sin2+(1-2sin2)=，sin2=又(0,),sin=cos=,tan=.答案：3.【解析】由题意知f(x)=1-2sinxcosx=1-sin2x的最小正周期为.答案：4
7、.【解析】将ysinx的图象向右平移个单位得到ysin(x)的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象.答案：5.【解析】y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x由2k-4x2k(kZ)得 (kZ).答案：,kZ6.【解析】由可得tanC=1,C=45.答案：457.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得的度数，再根据条件做出判断，进而求得cos().【解析】，(0，)，由可得当时，0与，(0，)矛盾；当时，此时cos ().答案：8.【解析】f(x)=2sin(x+),故因为yf(x)的图象关于直线x0对称，因此sin (0)1，
8、可得(kZ)，即kZ.的最小正值为.答案：9.【解题指南】利用根与系数的关系得到tan和tan(-)与系数a,b，c的关系，再利用正切的两角和公式得到a,b，c的关系.【解析】bac，cab.答案：c=a+b10.【解析】在PAB中,PAB=30,APB=15,AB=60 m,sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30由正弦定理得:树的高度为PBsin45= m.答案： m11.【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式，再根据性质求得最小值.【解析】由新定义可知f(x)cos2xsin2x2cos(2x)，所以函数f(x)的图象向左平移个单位长
9、度后为y-2cos2x的图象，该函数为偶函数，所以n的最小值为.答案：12.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，设塔高为h,因为CAE=30,BAE=15,AD=BE=60米,则米,在RtAEC中，=()米,所以塔高为+60=(120+)米.答案：120+13.【解析】因为sinx+cosx=，故错；若=390,=45，但tantan，故错；故正确；是奇函数，故正确；将y=sin2x的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y=sin(2(x+)=cos2x，故错.答案：14.【解析】由ADB120知ADC60，又因为AD2，所以SADCADDCsin60，所以DC
10、又因为BD所以过A点作AEBC于E点，则所以AE，又在直角三角形AED中，DE1，所以BE，在直角三角形ABE中，BEAE，所以ABE是等腰直角三角形，所以ABC45，在直角三角形AEC中， 所以所以ACE75，所以BAC180754560.答案：60【方法技巧】巧解三角形解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.15.【解析】为第一或第二象限角.当是第一象限角时， 当是第二象限角时， 原式【误区警示】当得到
11、正弦值时，一定要对角进行分类讨论.【变式备选】已知为锐角，且(1)求tan的值；(2)求的值.【解析】(1)所以1tan22tan，所以tan.(2) 因为tan，所以cos3sin，又sin2cos21，所以又为锐角，所以所以16.【解析】2cos2B8cosB50，2(2cos2B1)8cosB50.4cos2B8cosB30，即(2cosB1)(2cosB3)0.解得cosB或cosB (舍去).0B，B.a、b、c成等差数列，ac2b.cosB化简得a2c22ac0，解得ac.故a=b=c.ABC是等边三角形.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:2cos2B8cosB50，2(2co
12、s2B1)8cosB50.4cos2B8cosB30.即(2cosB1)(2cosB3)0.解得cosB或cosB(舍去).0B，B.a、b、c成等差数列，ac2b.由正弦定理得化简得0A，ABC是等边三角形.17.【解析】(1)由得：即(2)由(1)得，f(x)sin(x)，依题意又故3，f(x)sin(3x).函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)sin3(xm)，g(x)是偶函数当且仅当(kZ)，即(kZ)，从而最小正实数.18.【解析】(1)f(x)=T=,于是可知f(x)=2sin(2x+).(2)a2+c2=b2-ac,cosB=又0B,B=,f(A)=2sin
13、(2A+),B=,0A,sin(2A+)(0,1,f(A)(0,2.19.【解析】设该机器人最快可在点G处截住小球，点G在线段AB上,设FG=x cm，根据题意，得BG=2x cm.则AG=AB-BG=(170-2x) cm,连结AF，在AEF中，EF=AE=40 cm，EFAD，所以EAF=45，AF=cm .在AFG中，FAG=45，由余弦定理，得FG2=AF2+AG2-2AFAGcosFAG，所以解得x1=50,所以AG=170-2x=70(cm),或AG=(cm)(不合题意，舍去)所以，该机器人最快可在线段AB上离A点70 cm处截住小球.20.【解析】(1)由余弦定理知b2c2a22bccosA，A(0，)，A.(2)ABC为锐角三角形且BC，cosBcosCcosBcosB即cosBcosC的取值范围是(，1.