1、第1课时函数的单调性知识点一定义域为I的函数f(x)的增减性,定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1Bm Dm解析：使y(2m1)xb在R上是减函数，则2m10，即mf(x2)，则x1，x2的大小关系为_解析：f(x)在R上是增函数，且f(x1)f(x2)，x1x2.答案：x1x2类型一利用函数图象求单调区间例1已知函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()A(3,1)(1,4) B(5，3)(1,1)C(3，1)，(1,4) D(5，3)，(1,1)【解析】在某个区间上，若函
2、数yf(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1,4)【答案】C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间跟踪训练1函数f(x)的图象如图所示，则()A函数f(x)在1,2上是增函数 B函数f(x)在1,2上是减函数C函数f(x)在1,4上是减函数 D函数f(x)在2,4上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A图象上升或下降趋势判断类型二函数单调性的判定与证明例2判断函数f(x)在区间(1，)上的单调性，并用单调性的定义证明【解析】函数f
3、(x)在区间(1，)上单调递减证明：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).x10.x1，x2(1，)，x2x10，x10，x10，0，即f(x1)f(x2)，由单调性的定义可知函数f(x)在区间(1，)上单调递减先根据单调性的定义任取x1，x2(1，)，且x1x2，再判断f(x1)f(x2)的符号方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤跟踪训练 2利用单调性的定义，证明函数y在(1，)上是减函数证明：设x1，x2是区间(1，)上任意两个实数且x1x2，则f(x1)f(x2)，1x10，x110，x210.0.即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)y在(1，)上是减函数
4、利用四步证明函数的单调性类型三由函数的单调性求参数的取值范围例3已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围【解析】f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合1a4，解得a3.故a的取值范围为(，3.首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x1a，利用对称轴应在直线x4的右侧或与其重合求解方法归纳 “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区
5、间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义跟踪训练3例3中，若将“函数在区间(，4上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(，4”，则a为何值？解析：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(，1a，1a4，a3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有0，则必有()A函数f(x)先增后减Bf(x)是R上的增函数C函数f(x)先减后增 D函数f(x)是R上的减函数解析：由0知，当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a
6、)f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数答案：B2下列函数中，在(0,2)上为增函数的是()Ay3x2 ByCyx24x5 Dy3x28x10解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是()Af(x)x2 Bf(x)Cf(x)|x| Df(x)2x1解析：因为对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)，所以函数f(x)在(0，)上是减函数，A，C，D在(0，)上都为增函数，B在(0，)上为减函数
7、答案：B4函数f(x)x|x2|的增区间是()A(，1 B2，)C(，1，2，) D(，)解析：f(x)x|x2|作出f(x)简图如下：由图象可知f(x)的增区间是(，1，2，)答案：C5函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)(3，)解析：因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6函数f(x)(x2)21的单调递减区间为_解析：函数f(x)(x2)21的图象开口向下，对称轴为直线x2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f(x)(x
8、2)21的单调递减区间为2，)答案：2，)7若f(x)在R上是单调递减的，且f(x2)3，解得x5.答案：(5，)8函数y|x24x|的单调减区间为_解析：画出函数y|x24x|的图象，由图象得单调减区间为：(，0，2,4答案：(，0，2,4三、解答题(每小题10分，共20分)9判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性解析：函数f(x)1在(0，)上是增函数证明如下：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x10，又由x1x2，得x1x20，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)1在(0，)上是增函数10作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间解析：f(x)的图
9、象如图所示由图象可知：函数的单调减区间为(，1和(1,2；单调递增区间为(2，)能力提升(20分钟，40分)11若函数f(x)的定义域为(0，)，且满足f(1)f(2)f(3)，则函数f(x)在(0，)上()A是增函数 B是减函数C先增后减 D单调性不能确定解析：函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A，B，C错误，D正确答案：D12如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x2(a1)x5的对称轴为x且在区间上是增函数，即a2.答案：(，213画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间解析：y即y函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为1,0，1，)14已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围解析：f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，解得1x，所以x的取值范围为.