1、6.2垂直关系的性质填一填直线与平面、平面与平面垂直的性质定理线面垂直的性质定理面面垂直的性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言aba图形语言线面垂直的性质定理面面垂直的性质定理判一判1.垂直于同一个平面的两条直线互相平行()2一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直()3若平面平面，平面平面，则平面平面.()4已知直线a和直线c，a，若ca，则c.()5如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面()6如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点
2、垂直于交线的直线，垂直于另一个平面()7如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别平行或垂直()8，表示平面，若，m，n，则mn.()想一想1.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面2过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：有且仅有一条假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线3证明线线平行常用的方法有哪些？提示：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理
3、：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行4证明或判定线面垂直的常用方法有哪些？提示：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a，b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)思考感悟：练一练1.若直线l平面，m，则()Alm Bl可能与m平行Cl与m相交 Dl与m不相交答案：A2下列命题：垂直于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两条直线平行；垂直于同一平面的两平面平行其中正确的个数是()A1 B2C3 D4答
4、案：B3已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是()Aba BbaCb Db与相交答案：C4若平面平面，平面平面，则()A BC与相交但不垂直 D以上都有可能答案：D5若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A直线a垂直于第二个平面B直线b垂直于第一个平面C直线a不一定垂直于第二个平面D过a的平面必垂直于过b的平面答案：C知识点一直线与平面垂直的性质及应用1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EFA1D，EFAC.求证：EFBD1.证明：如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABC
5、D，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，且BDDD1D，AC平面BDD1B1.BD1平面BDD1B1，BD1AC.同理可证BD1B1C.又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C，又EFAC且ACB1CC，EF平面AB1C.EFBD1.2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点证明：(1)因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又
6、因为MN平面A1DC，所以MNAD1.(2)设AD1A1DO，连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC.所以ON綊CD綊AB，即ONAM.又因为MNOA，所以四边形AMNO为平行四边形，所以ONAM.因为ONAB，所以AMAB，即M是AB的中点知识点二面面垂直性质定理的应用3如图，已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.证明：如图，在平面PAC内作ADPC于点D，平面PAC平面PBC，AD平面PAC，且ADPC，AD平面PBC，又BC平面PBC，ADBC.PA平面ABC.BC平面ABC，PABC，ADPAA，BC平面PAC，又AC平面PAC
7、，BCAC.4如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是DAB60，且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD.证明：如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且DAB60，所以ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BGAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD.所以BG平面PAD.综合知识垂直关系的综合应用5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点(1)求证：AEDA1；(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE平面DFG？并说明理由解析
8、：(1)证明：连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又ABAD1A，DA1平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，DA1AE.(2)所示G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AEDA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可证DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE.又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.6如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离解析：(1)证明：因为长方形ABCD中，BCAD，
9、又BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)证明：取CD的中点H，连接PH，因为PDPC，所以PHCD.又因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，所以PH平面ABCD.又因为BC平面ABCD，所以PHBC.又因为长方形ABCD中，BCCD，PHCDH，所以BC平面PDC.又因为PD平面PDC，所以BCPD.(3)连接AC.由(2)知PH为三棱锥PADC的高因为PH，SADCADCD369，所以VPADCSADCPH93.由(2)知BCPD，又因为ADBC，所以ADPD，所以SPDAPDAD436.设点C到平面PDA的距离为h.因为VCPDAVPADC，所以SPD
10、Ah3，所以h.基础达标一、选择题1.如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是()A，l，blbB，l，bbC，b，blbD，l，b，blb解析：根据面面垂直的性质定理知，D正确答案：D2已知两条直线m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正确命题的序号是()A BC D解析：由线面垂直的性质定理可知正确；对于，当，m，n时，m与n可能平行也可能异面，故不正确；对于，当mn，m时，n或n，故不正确；对于，由mn，m，得n，又，所以n，故正确故选C.答案：C3平面平面，直线a，则()Aa BaCa与相交 D以上都有可能解析：因为a，平面平面，
11、所以直线a与垂直、相交、平行都有可能故选D.答案：D4已知两个平面垂直，下列说法：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确说法个数是()A3 B2C1 D0解析：如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60，错误；正确对于，AD1平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于，如果这点为交线上的点，可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直，错误故选C
12、.答案：C5如果直线l，m与平面，之间满足：l，l，m和m，那么()A且lm B且mCm且lm D且解析：由m，m得，由l，得l，所以ml.故选A.答案：A6如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A BC D解析：设等腰直角ABC的腰长为a，则斜边BCa，因为D为BC的中点，所以ADBC，又平面ABD平面ACD，平面ABD平面ACDAD，BDAD，BD平面ABD，所以BD平面ADC，又AC平面ADC，所以BDAC，故正
13、确；由知，BD平面ADC，CD平面ADC，所以BDCD，又BDCDa，所以由勾股定理得BCaa，又ABACa，所以ABC是等边三角形，故正确；因为ABC是等边三角形，DADBDC，所以三棱锥DABC是正三棱锥，故正确因为ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DFAC，又ABC为等边三角形，连接BF，则BFAC，所以BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD平面ADC可知，BDF为直角，BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故错误综上所述，正确的结论是.故选B.答案：B7如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD平面ABCD，PAPD，E为AD的中点，则下列结论不
14、一定成立的是()APEACBPEBCC平面PBE平面ABCDD平面PBE平面PAD解析：因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD，所以PEAC，PEBC，所以A，B成立又PE平面PBE，所以平面PBE平面ABCD，所以C成立若平面PBE平面PAD，则AD平面PBE，必有ADBE，此关系不一定成立，故选D.答案：D二、填空题8下列命题：，l，m，则lm；，l，则l；，l，则l与相交，或l，或l.其中正确的是_解析：根据面面垂直与线面平行的性质判断命题的对错答案：9.如图，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，AB
15、D是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为_解析：CACB，O为AB的中点，COAB.又平面ABC平面ABD，交线为AB，CO平面ABD.OD平面ABD，COOD，COD为直角三角形所以图中的直角三角形有AOC，COB，ABC，AOD，BOD，COD共6个答案：610如图所示，三棱锥PABC的底面在平面上，且ACPC，平面PAC平面PBC，P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是_解析：因为平面PAC平面PBC，ACPC，AC平面PAC，平面PAC平面PBCPC.所以AC平面PBC.又BC平面PBC，所以ACBC，所以ACB90.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A，
16、B两点)答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)11设，是两个不同的平面，l是一条直线，给出四个命题：若l，则l；若l，则l；若l，则l；若l，则l.则正确命题的个数为_解析：错，可能有l；错，可能有l；正确；错，也可能有l，或l或l与相交答案：112设m，n为空间的两条直线，为空间的两个平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn.上述命题中，其中假命题的序号是_解析：若m，m，则与相交或平行都可能，故不正确；若m，m，则，故正确；若m，n，则m与n相交、平行或异面，故不正确；若m，n，由线面垂直的性质定理知mn，故正确答案：三、解答题13如图，在棱长均
17、为2的直三棱柱ABCA1B1C1中，E为AA1的中点求证：平面B1EC平面BCC1B1.证明：如图，取BC，B1C的中点分别为F，G，连接AF，EG，FG，由E，F，G分别为AA1，BC，B1C的中点知FG綊BB1綊AE，所以AEGF为平行四边形，所以AFEG.在直三棱柱中，由平面BCC1B1平面ABC，且AFBC，知AF平面BCC1B1，所以EG平面BCC1B1.又EG平面B1EC，所以平面B1EC平面BCC1B1.14如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.求证：(1)AF平面BDE；(2)CF平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为E
18、FAG，且EF1，AGAC1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1.所以四边形CEFG是菱形所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.又CF平面ACEF所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.能力提升15如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBCCA，ADCD1.(1)求证：BDAA1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE平
19、面DCC1D1.证明：(1)在四边形ABCD中，因为ABBC，ADDC，所以BDAC，又平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面AA1C1C，又因为AA1平面AA1C1C，所以BDAA1.(2)在三角形ABC中，因为ABAC，且E为棱BC的中点，所以AEBC，又因为在四边形ABCD中，ABBCCA，ADCD1.所以ACB60，ACD30，所以DCBC，所以AECD.因为CD平面DCC1D1，AE平面DCC1D1，故得AE平面DCC1D1.16如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为等边三角形，其所
20、在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并说明你的结论解析：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG.因为PAD为等边三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又BGPGG，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB.所以ADPB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF.则EFPB，所以可得EF平面PGB.在菱形ABCD中，GBDE，所以可得DE平面PGB.而EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB.因为PAD为等边三角形，G为AD中点，所以PGAD，因为平面PAD平面ABCD，且相交于AD，PG平面PAD，所以PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.