1、江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷命题人：九江一中 张思意 宜春一中 舒红艳【试卷综述】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查.【题文】一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【题文】1. 已知集合，则（ ） A B C D【知识点】集合运算. A1【答案】
2、【解析】C 解析：,所以【思路点拨】主要求出集合中的元素的取值范围，再求交集.【题文】2. 如果为纯虚数，则实数等于（ ）A.0 B. -1或1 C. -1 D. 1【知识点】复数运算. L4【答案】【解析】D 解析：，因为是纯虚数，所以，解得a=1.故选D.【思路点拨】利用复数的除法运算先化简，再利用纯虚数定义求解.【题文】3. 在中, 是 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】平面向量的数量积及其应用；充分条件必要条件 F3 A2【答案】【解析】C 解析：因为在ABC中=等价于=0等价于（+）=0，因为的方向为AB边上的中线的方向即A
3、B与AB边上的中线相互垂直，则ABC为等腰三角形，故AC=BC，即，所以为充分必要条件故选C【思路点拨】首先在ABC中，移项化简可得到=0，所表示的意义为AB与AB边上的中线相互垂直，故，所以是充分条件，又，得三角形为等腰三角形，则可推出也成立所以是充分必要条件【题文】4.数列的前项和，若p-q=5,则= （ ） A. 10 B. 15 C. -5 D.20【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】【解析】D 解析：当n2，an=SnSn1=2n23n2（n1）2+3n3=4n5a1=S1=1适合上式，所以an=4n5，所以apaq=4（pq），因为pq=5，所以apaq=20故选：D【
4、思路点拨】利用递推公式当n2，an=SnSn1，a1=S1可求an=4n5，再利用apaq=4（pq），pq=5，即可得出结论【题文】5.对任意非零实数、,若的运算原理如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D.【知识点】程序框图L1【答案】【解析】B 解析：模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数ab=的值，log24=2（）1=3log24（）1=1故选：B【思路点拨】模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数ab=的值，由已知比较两数的大小，从而即可得解【题文】6.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则落在内的概率为（ ）A. B. C. D
5、.【知识点】正态分布；概率I3 K1【答案】【解析】B 解析：服从正态分布N（100，2）曲线的对称轴是直线x=100，在（80，120）内取值的概率为0.8，在（0，100）内取值的概率为0.5，在（0，80）内取值的概率为0.50.4=0.1故选：B【思路点拨】根据服从正态分布N（100，2），得到曲线的对称轴是直线x=100，利用在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论【题文】7.函数的部分图象如图所示，则+的值为（ ）A.0 B.3 C.6 D.-【知识点】三角函数的图像与性质C3【答案】【解析】A 解析：由函数图象可得：A=2，T=2（62）=8=，故解得：=，可得函数解
6、析式为：f（x）=2sinx，所以，有：f（1）=f（2）=2f（3）=f（4）=0f（5）=f（6）=2f（7）=f（8）=0f（9）=观察规律可知函数f（x）的值以8为周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，由于2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=0【思路点拨】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，我们可以将f（1）+f（2）+f（2006）转化为一个数列求和问题，然后利用
7、分组求和法，即可得到答案【题文】8.若，则的值是（ ）A-2 B.-3 C.125 D.-131【知识点】二项式定理J3【答案】【解析】C 解析：（1+x）（12x）7=a0+a1x+a2x2+a8x8，a8=（2）7=128令x=0得：（1+0）（10）7=a0，即a0=1；令x=1得：（1+1）（12）7=a0+a1+a2+a7+a8=2，a1+a2+a8=1a0a8=21+128=125故选C【思路点拨】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+a8的值【题文】9.已知圆：，圆：，椭圆：，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A. B. C. D. 【知识点
8、】椭圆及其几何性质H5【答案】【解析】B 解析：已知圆C1：x2+2cx+y2=0，转化成标准形式为：（x+c）2+y2=c2，圆C2：x22cx+y2=0，转化成标准形式为：（xc）2+y2=c2，圆C1，C2都在椭圆内，所以：（c，0）到（a，0）的距离小于c则：|ca|c解得：a2c由于：e=所以：e，由于椭圆的离心率e（0，1）则：0e故选：B【思路点拨】首先把圆的方程转化成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的右顶点的距离与圆的半径的关系式，最后利用e的范围求出结果【题文】10.定义在上的函数对任意、都有，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式则当时，的取值范围是（
9、 ）A B C D【知识点】函数单调性的性质B3【答案】【解析】D 解析：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；由f（s22s）f（2tt2）得：s22st22t；（st）（s+t2）0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即ABC及其内部，C（4，2）；设，整理成：；，解得：；的取值范围是故选：D【思路点拨】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s22s）f（2tt2）便得到，s22st22t，将其整理成（st）（s+t2）0，画出不等式组所表示的平面区域设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的
10、斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围【题文】11.正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）A B C D【知识点】多面体与球G8【答案】【解析】A 解析：根据题意可知三棱锥BACD的三条侧棱BDAD、DCDA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面BDC，BD=CD=1，BC=，BDC=120，BDC的外接圆的半径为=1由题意可得：球心到底面的距离为，球的半径为r=外接球的表面积为：4r2=7故选：A【思路点拨】三棱锥BACD的三条侧棱BDAD、DCDA，底
11、面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可【题文】12.在平面直角坐标系中，点是直线上一动点，定点,点为的中点，动点满足,过点作圆的切线，切点分别为,则|ST|的最小值为（）（ ）A B C D【知识点】圆的切线方程B4【答案】【解析】A 解析：设M坐标为 M（x，y），由MPl知 P（，y）；由“点Q为PF的中点”知 Q（0，）；又因为QMPF，QM、PF斜率乘积为1，即 ，解得：y2=2x，所以M的轨迹是抛物线，设M（y2，y），到圆心（3，0）的距离为d，d2=（y23）2+2y2=y44y2+9=（
12、y22）2+5，y2=2时，dmln=，此时的切线长为，所以切点距离为2=；|ST|的最小值为；故选A【思路点拨】由题意首先求出M的轨迹方程，然后在M满足的曲线上设点，只要求曲线上到圆心的距离的最小值，即可得到|ST|的最小值【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）【题文】13.计算：= .【知识点】定积分的应用B4【答案】【解析】0 解析：（x3cosx）dx=x3dsinx=（3）3sin（3）3（3）2cos（3）6sin3=27sin327cos36sin3=33sin327cos3同理,所以=0.故答案为0.【思路点拨】直接利用分步积分求解定积分的值【题文】14.已
13、知点的距离相等，则的最小值为 . 【知识点】两点间距离公式；基本不等式H2 E6【答案】【解析】 解析：因为点P（x，y）到A（0，4）和B（2，0）的距离相等所以点P（x，y）在A，B的垂直平分线上，且过A B的中点（1，2）所以垂线方程为：X+2Y3=0 即X+2Y=3,因为2X+4Y=2X+22Y，且2x0，22y0，所以2x+4y=2x+22y=所以最小值为，故选D【思路点拨】首先根据因为点P（x，y）到A（0，4）和B（2，0）的距离相等得到P在AB的垂直平分线上，然后求出垂线的方程，最后根据基本不等式求解【题文】15.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的
14、坐标为（），若，则的值为 .【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的求值化简与证明C5 C7【答案】【解析】 解析：点B的坐标为（，），设A0B=sin（）=，cos（）=，即sin=，cos=，AOC=，若|BC|=1，+=，则=，则cos2sincos=cossin=cos（+）=cos（+）=cos（）=sin=，故答案为：【思路点拨】根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论【题文】16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,，10的因数有1,2,5,10,那么= .【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】【解析】 解析：根
15、据g（n）的定义易知当n为偶数时，g（n）=g（n），且若n为奇数则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+g（2n1）则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+g（2n+11）=1+3+（2n+11）+g（2）+g（4）+g（2n+12）=+g（1）+g（2）+g（2n+12）=4n+f（n）即f（n+1）f（n）=4n分别取n为1，2，n并累加得f（n+1）f（1）=4+42+4n=（4n1）又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=+1所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+g（2n1）=（4n11）+1令n=2015得g（1）+g（2）+g（3）+g（2201
16、51）=故答案为：【思路点拨】本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用，即利用出题的意图求数列的和【题文】三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤)【题文】17.（本小题12分）已知，集合=，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列，.（1）求数列的通项公式；（2）记，设数列的前项和为，求证.【知识点】数列求和D4【答案】【解析】(1) (2) 见解析解析：（1） （3分） 又 （6分）（2） （7分） （10分） 得证 （12分）【思路点拨】（1）根据题意求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果【题文】18. (
17、本题12分)如图，四棱锥中，底面是直角梯形，侧面，是等边三角形， ，是线段的中点（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值【知识点】空间中的垂直关系；空间角与距离的求法G5 G11【答案】【解析】(1)见解析 (2) 解析：（1）证明：因为侧面，平面， 所以2分 又因为是等边三角形，是线段的中点，所以 因为，【来.源：全,品中&高*考*网】所以平面4分 而平面，所以5分【来.源：全,品中&高*考*网】（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则，设为平面的法向量由 即令，可得9分设与平面所成的角为所以与平面所成角的正弦值为 12分【思路点拨】（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得ADE
18、P且ABEP，从而得到 PE平面ABCD再结合线面垂直的性质定理，可得PECD；（II）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系可得E、C、D、P各点的坐标，从而得到向量、的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE一个法向量=（1，2，0），最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC与平面PDE所成角的正弦值为【题文】19. (本题12分)已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，. 设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.（1）求满足条件的不同的数表的张数;(2)若()，从所有数表中任意抽取一张，记
19、为表中的个数，求的分布列及期望.【知识点】排列、组合 ；离散型随机变量及其分布列J2 K6【答案】【解析】(1) 216(2) 见解析解析：（1）9= 5分 （2） p(=1) =, p(=2) =p(=3) = 9分因此，的分布列如下：123PE =2 12分【思路点拨】(1)由排列数易求结果.(2)由分布列的定义易求结果.【题文】20(本题12分)已知椭圆C:（）的离心率=，且过点M（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C长轴两端点分别为A、B,点P为椭圆上异于A、B的动点，定直线与直线PA、PB分别交于M、N两点，又E(7，0)，过 E、M、N三点的圆是否过轴上不同于点E的定点？若经过
20、，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【知识点】椭圆及其几何性质 直线与圆锥曲线H5 H8【答案】【解析】(1) (2) 过定点（1,0）解析：（1）5分(2)设PA,PB的斜率分别为,，则7分则PA:，则 PB: ,则又，10分设圆过定点F(m,o),则，则m=1或m=7(舍)故过点E、M、N三点的圆是以MN为直径的圆过点F（1,0）12分【思路点拨】(1)由已知条件易求a,b值，从而得方程.（2）由题意分析即直线的斜率之间满足关系，即可求解.【题文】21. (本题12分)已知 （1）若在定义域内单调递增，求的取值范围;（2）当=-2时，记得极小值为。若，求证： .【知识点】导数的应用. B
21、12【答案】【解析】(1) (2) 见解析解析：（1） 依题意恒成立，令 在单调递减，且，在区间上存在唯一零点3分在上单调递增，在上单调递减。由得 5分（2）当时，令,显然在区间单调递减,又, 故存在唯一实数,使得在上单调递增，在上单调递减。即在上单调递增，在上单调递减。又, ,由知,在()上单调递减,在()上单调递增.不妨设由,则令，则=8分又在上单调递减，所以=0在上单调递减，=0,即：【来.源：全,品中&高*考*网】又=9分 又在上单调递减 12分【思路点拨】(1)请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分【题文】22.(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲.
22、 如图，直线PQ与O相切于点A，AB是O的弦，的平分线AC 交O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于Q点， (1)求证:; （2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的长. 【知识点】选修4-1 几何证明选讲. N1【答案】【解析】(1) 见解析(2) （第22题图）解析：（1）PQ与O相切于点A， AC=BC=5 由切割线定理得： -5分 （2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9 由 知 . -10分【思路点拨】(1)由割线定理易于求解.（2）由三角形相似即可求得弦AB的长.【题文】23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数
23、方程为 (t为参数). 在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为.(1) 写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值 【知识点】参数与参数方程. N3【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)由得直线l的普通方程为-2分 又由得圆C的直角坐标方程为 即. -5分 (2) 把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得 ，即 由于，故可设是上述方程的两实数根， 所以又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为 所以. -10分【思路点拨】（1）由参数方程与普通方程互化就可求解.(2)由题意把所求转化为方程的两根，从而求得.【题文】24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲（1）已知函数，求x的取值范围，使为常函数；（2）若求的最大值。【知识点】选修4-5 不等式选讲. N4【答案】【解析】（1）（2）3解析：（1） .4分 则当时，为常函数. .5分（2）由柯西不等式得: 所以 因此M的最大值为3.【思路点拨】(1)把绝对值不等式化为分段函数观察即可求解,(2)由柯西不等式直接求解.