1、四川省天府名校2021届高三数学上学期12月诊断性考试试题 文第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则（ ）A0BCD2设复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量，当与垂直时，实数（ ）A2B1CD4设实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）AB1CD5在中，分别为角，的对边，若，则的周长为（ ）A20B30C40D256一个三角形的三边长分别为6，8，10，圆为其内切圆，现向该三角形内随机投掷一个点，则此点落入内切圆内的概率为（ ）ABCD7已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD8已知正数，满足，则
2、取得最小值时的值为（ ）ABCD9已知直线和函数的图象相交，为两个相邻的交点，若，则（ ）A2B2或6C3或5D3 10设为双曲线的焦点，过作倾斜角为60的直线与该抛物线交于，两点，且，为坐标原点，则的面积为（ ）ABCD11已知函数，若有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是（ ）ABCD12在直四棱柱中，底面四边形为菱形，为中点，平面过点且与平面垂直，则被此直四棱柱截得的截面面积为（ ）A1B2C4D6第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：13定义在上的函数，满足，则_ 14古人为避雷和便于雨水下泄，常
3、将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为_ 平方米15已知直线的倾斜角为，与圆相切，切点在第二象限，则_16设为双曲线的右焦点，过点且和轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于点，（、分别在第一、四象限），且与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列满足，（1）求证：数列为等比数列，并求；（2）设的前项之和为，求数列的前项之和18在三棱锥中，（1）求证：平面平面；（2）若为棱上的一点，且满足，求三棱锥的体积19某班主任对本班40名同学每天参加
4、课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中，在纵轴上对应的高度分别为，如下图所示：（1）求实数的值以及参加课外活动时间在中的人数；（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间；（3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率20已知椭圆的离心率为，为右焦点，上一点满足垂直于轴，（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为2的直线交椭圆于，两点，且直线不过原点，求面积的最大值21已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的最小正整数值22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标
5、系中，圆的方程为，直线经过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）写出圆的极坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线交圆于，两点，求23选修4-5：不等式选讲已知（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围参考答案1D【解析】由题知，集合，因此故选D2B【解析】因为，所以的共轭复数为，在复平面内所对应的点为，位于第二象限故选B3D【解析】由题知，欲使与垂直，则，解得故选D4C【解析】作出不等式组表示的可行域如图：的几何意义是可行域内的一点与点的连线斜率，从图上可以看出，点为最优解，因此的最大值为故选C5A【解析】根据余弦定理，得
6、，所以，则的周长为20故选A6A【解析】依题意，此三角形为一个直角三角形，设圆的半径为，则，设此点落入内切圆内为事件，则故选A7A【解析】由，得，因为，定义域为，所以为奇函数，由，知为增函数，则等价于，即，解得故选A8B【解析】依题意得，由，得因此，当且仅当，即时取等号，结合，知，故选B9B【解析】将代入到中，得，或，因为，因此或，解得或6故选B10A【解析】由题得，直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，则，由，得，解得，此时直线的方程为，抛物线的方程为，联立解得，因此，因此原点到直线的距离等于，所以故选A11C【解析】作出函数的图象，则的零点即为直线与函数的交点的橫坐标，欲使有5个零点，则
7、，设此五个零点依次为，由和的对称性可知，而，因此5个零点之和的取值范围是故选C12C【解析】分别取，的中点，连接，由四边形为菱形，知，再根据三角形的中位线定理，知，所以，又因为，因此又，平面，平面，故平面，又平面，则平面平面则为矩形由，故截面面积为4故选C131【解析】依题意知，因此是以3为周期的周期函数，所以14【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为米，于是其侧面积为（平方米）15【解析】由题知，圆心到直线的距离等于，因此，因为切点在第二象限，所以，即，根据同角三角函数之间的关系知，则16【解析】设，则由题得，由于是直线和双曲线的交点，因此，故，由于，因此可以得到，化简得，又，得，
8、则离心率17【解析】解：（1）因为，所以，因为，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，因此，故（2）依题意，因此，故，得，因此，18【解析】（1）取的中点，连接和，因为，因此，由，得，又因为，所以为直角三角形，又为的中点，因此，在中，由于，所以，因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以平面平面（2）依题意知，因此点到平面的距离等于点到平面距离的由（1）知，到平面的距离，因此到平面的距离等于又的面积为，所以19【解析】解：（1）因为所有小矩形面积之和等于1，所以，解得，由于参加课外活动时间在内的频率等于，因此参加课外活动时间在中的人数为人（2）依题意，参加课外活动时间在，中的人数分别为5人
9、，8人，15人，7人，5人，因此这40名同学平均每天参加课外活动的时间为：（分钟）（3）设每天参加活动不少于50分钟的5人分别为，甲，从中任选3人，可能的情况有：，甲，甲，甲，甲，甲，甲，共10种，设“其中的男生甲被选中”为事件，则事件包括的情况有：甲，甲，甲，甲，甲，甲，共6种，因此事件发生的概率为20【解析】设椭圆的焦距为，依题意得，由，知点坐标为，代入到椭圆方程中得，结合，可以解得，故椭圆的方程为（2）设直线的方程为，将代入到椭圆方程中，得，由得，根据弦长公式，得，设到直线的距离为，则根据点到直线的距离公式得因此，的面积为，当且仅当时等号成立所以当时，面积的最大值为121【解析】（1）由
10、题得，函数的定义域为，当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减当时，令，得，令，得此时，在上单调递减，在上单调递增综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）依题意，在上恒成立令，则，令，则，令，由于，因此在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数而，知，可知在区间上必存在，使得函数满足，且在上单调递增，在上单调递减由于，而，故，由，因此，所以，因此的最小正整数值为122【解析】（1）将，代入到圆的方程中，得圆的极坐标方程为，而直线的参数方程为（为参数）（参数方程不唯一）（2）将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得，化简得，所以方程有两个根，分别记为，则，所以23【解析】，（1）当时，所解不等式可化为，解得，再结合条件知，此时不等式无解；当时，所解不等式可化为，解得，再结合条件知，此时不等式的解集为；当时，所解不等式可化为，解得，再结合条件知，此时不等式的解集为综上所述，原不等式的解集为（2）因为时，单调递减；时，单调递减；时，单调递增，且是一条连续不间断的曲线因此函数的最小值为于是实数，从而，因为存在实数，使不等式成立，所以，由于，当且仅当时等号成立，由，得于是实数的取值范围是