1、2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和【选题明细表】 知识点、方法题号等比数列的前n项和公式1、2、3、6、8、9、11等比数列前n项和的性质4、7综合应用5、10、12基础巩固1.等比数列an的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是(B)(A)179(B)211(C)248(D)275解析:由16=81q4,q0得q=,所以S5=211.故选B.2.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则等于(D)(A)11(B)5(C)-8(D)-11解析:设等比数列的公比为q,则由8a2+a5=0得=-8=q3,所以q=-2,所以=-11.故选D.3.(2015
2、中山高二检测)等比数列an中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于(C)(A)2(B)(C)4(D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q=4,故选C.4.等比数列an的前n项和Sn=3n-a,则实数a的值为(B)(A)0(B)1(C)3(D)不存在解析:法一当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1,=3.又a1=S1=3-a,a2=23=6,则=.因为an是等比数列,所以=3,得a=1.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.5.已知数列an为等比数
3、列,Sn是它的前n项和,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于(C)(A)35(B)33(C)31(D)29解析:设数列an的公比为q,因为a2a3=q3=a1a4=2a1,所以a4=2.又因为a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3=2,所以q=.所以a1=16.S5=31.故选C.6.若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+的结果可化为(C)(A)1-(B)1-(C)(1-)(D)(1-)解析:因为an为等比数列,且a1=1,q=2,所以an=2n-1,=,即数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以Tn=(1-).7.在等比数列an中,已知a1+a2+a3
4、=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=.解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,b5=a13+a14+a15,依题意bn构成等比数列,其首项b1=1,公比为q=-2,则bn的前5项和即为an的前15项和S15=11.答案:118.设等比数列an的公比q1,前n项和为Sn,已知a3=2,S4=5S2,求an的通项公式.解:由题设知a10,Sn=,则由得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0.(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0,因为q0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-210.已知an是等比数列,a2=2,a5=
5、,则Sn=a1+a2+an的取值范围是.解析:因为an是等比数列,所以可设an=a1qn-1.因为a2=2,a5=,所以解得所以Sn=a1+a2+an=8-8()n,因为0()n,所以4Sn8.答案:4,8)11.(2015毫州检测)设数列an的前n项和为Sn,其中an0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列bn为等比数列?若存在,求出a1的值,若不存在,请说明理由.解:(1)依题意,得2Sn=an+1-a1.当n2时,有两式相减,得an+1=3an(n2).又因为a2=2S1+a1=3a1,an0,所以数列a
6、n是首项为a1,公比为3的等比数列.因此,an=a13n-1(nN*).(2)因为Sn=a13n-a1,bn=1-Sn=1+a1-a13n.要使bn为等比数列,当且仅当1+a1=0,即a1=-2.所以存在a1=-2,使数列bn为等比数列.探究创新12.已知数列an中,a1=,a2=1,3an=4an-1-an-2(n3).(1)求a3的值;(2)证明:数列an-an-1(n2)是等比数列;(3)求数列an的通项公式.(1)解:因为a1=,a2=1,3an=4an-1-an-2,所以3a3=4a2-a1,a3=.(2)证明:当n3时,因为3an=4an-1-an-2,所以3an-3an-1=an-1-an-2,所以=,所以an-an-1是等比数列,且首项为,公比为.(3)解:由(2)可知an-an-1的通项为an-an-1=,所以(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=()+,即an-a1=()+=1-=-,所以an=-+,即an=-()n-1.