1、3.2 空间向量的坐标A基础达标1已知向量a(4，2，4)，b(6，3，2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab10 D|a|6解析：选D.ab(10，5，2)，ab(2，1，6)，ab22，|a|6，所以A、B、C错2.如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设a，b，c，则向量可用a，b，c表示为()Aab2c Bab2cCabc D.abc解析：选D.()abc.3已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且ijk，则B点的坐标为()A(1，1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定
2、解析：选D.由ijk，只能确定向量(1，1，1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定4若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，满足条件(ca)(2b)2，则x的值为()A2 B2C0 D1解析：选A.因为ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)，所以(ca)(2b)2(1x)22x2.所以x2.5已知A点的坐标是(1，2，6)，B点的坐标是(1，2，6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是()A0 B.C D.解析：选C.设与的夹角为，则cos 1，所以与的夹角是.6已知空间三个向量a(1，2，z)，b(x，2，4)，c(1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x_，y
3、_，z_解析：因为ab，所以x44z0.因为ac，所以1(2)y3z0.因为bc，所以x2y120，所以x64，y26，z17.答案：6426177已知ABC的三个顶点为A(3，3，2)、B(4，3，7)、C(0，5，1)，M为BC的中点，则|_解析：M(2，1，4)，所以(1，2，2)所以|3.答案：38若a(x，2，2)，b(2，3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_解析：ab2x23252x4，设a，b的夹角为，因为为钝角，所以cos 0，又|a|0，|b|0，所以ab0，即2x40，所以x2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(，2)答案：(，2)9已知向量a(4，2，4)
4、，b(6，3，2)求：(1)|b|；(2)(2a3b)(a2b)解：(1)|b|7.(2)(2a3b)(a2b)2a23ab4ab6b226222672244.10已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)设|c|3，c，求c；(2)若k ab与ka2b互相垂直，求k.解：(1)因为(2，1，2)且c，所以设c(2，2)所以|c|3|3.解得1，所以c(2，1，2)或c(2，1，2)(2)因为a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以k ab(k1，k，2)，k a2b(k2，k，4)因为(k ab)(k a2b)，所以(k ab)(k a2b)0.即(k
5、1，k，2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k. B能力提升11已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()A. B.C. D.解析：选C.|ba| .12已知O为坐标原点，(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.解析：选C.设，则(1，2，32)，(2，1，22)，所以(1，2，32)(2，1，22)2(3285)23()2所以当时，最小，此时(，)，即点Q的坐标为(，)13已知向量a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，且ab，bc.(1)求向量a，b，c；(
6、2)求向量ac与向量bc所成角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，此时a(2，4，1)，b(2，4，1)又由bc得bc0，故(2，4，1)(3，2，z)68z0，得z2，此时c(3，2，2)(2)由第一问得，ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，因此向量ac与向量bc所成角的余弦值为cos .14(选做题)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题(1)求证：EFB1C；(2)求与所成角的余弦值；(3)求FH的长解：建立如图所示空间直角坐标系，D为坐标原点，设正方体棱长为1个单位，则有E、F、C(0，1，0)、C1(0，1，1)、B1(1，1，1)、G.(1)证明：，(0，1，0)(1，1，1)(1，0，1)所以(1)0(1)0，所以，即EFB1C.(2)因为(0，1，1).所以|.又0(1)，|，所以cos，即与所成角的余弦值为.(3)因为F、H，所以，所以| .即FH的长为.