1、章末知识整合直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度1倾斜角与斜率k的对应关系：当90时，ktan ；当90时，k不存在2单调性：当由090180(不含180)变化时，k由0逐渐增大到(不存在)，然后由(不存在)逐渐增大到0.3经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k(x1x2)，注意当x1x2时，直线斜率不存在已知坐标平面内三点A(1，1)，B(1，1)，C(2，1)(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围 解析：(1)kAB0，AB倾斜角为0.kBC，B
2、C倾斜角为60.kAC，AC倾斜角为30.(2)如题图，当D在AB上变化时，斜率k由kCA增大到kCB，k的取值范围为.跟踪训练1若直线axy20与连接点A(2，3)，B(3，2)的线段有交点，则a的取值范围是_解析：容易发现，直线axy20过定点P(0，2)，因此，要使直线与线段AB始终有交点，如图所示，当直线绕P点在PA、PB之间旋转时，直线axy20与连接点A(2，3)、B(3，2)的线段有交点，而axy20的斜率ka，当直线由PB开始绕P点逆时针旋转时(不与y轴重合)，到PA为止，直线与线段AB始终有交点，此时，斜率的变化为：当直线axy20的倾斜角为锐角时：kkPB，而kPB，即a，
3、所以a；当直线axy20的倾斜角为钝角时：kkPA，而kPA，即：a，所以a.答案：2过点A(8，6)引三条直线l1，l2，l3，它们的倾斜角之比为124，若直线l2的方程是yx，求直线l1，l3的方程解析：设直线l2的倾斜角为，则tan ，于是tan，tan 2.故直线l1的方程为y6(x8)，即x3y100.l3的方程为y6(x8)，即24x7y1500.两直线平行或垂直的判定方法：直线形式l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行k1k2且b1b2A1B2A2B10且A1C2A2C10垂直k1k21A1A2B1B20如果直线ax2y20
4、与直线3xy20平行，那么系数a等于()A6 B3 C D.解析：由题意得a6.答案：A跟踪训练3已知直线l1经过点A(2，a)，B(a1，3)，直线l2经过点C(1，2)，D(2，a2)(1)若l1l2，求a的值；(2)若l1l2，求a的值解析：直线l2的斜率为k2，则k2.(1)若l1l2，则l1的斜率k1，又k11，a3.(2)若l1l2，当k20时，此时a0，且k11，不合题意当k20时，l1的斜率存在，且k11，由k2k21，可得a3.直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，注意每一种方程形式的适用条件，必要时对特殊情况进行讨论过点P(1，0)，Q(0，2)分别作
5、两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解析：当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别是x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，适合题意当两条直线斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，y2kx.令y0，得x1与x.由题意|1|1，即k1.直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，适合题意的直线方程为x1，x0或xy10，xy20.跟踪训练4求过点P(1，2)的直线，且使A(2，3)，B(0，5)到它的距离相等的直线方程解析：x1显然符合条件；当A(2，3)，B(0，5)在所求直线的同侧时，kAB4，y24(x
6、1)，即4xy20.综上，符合题意的直线方程为x1或4xy20.5已知直线AxByC0，(1)系数为什么值时方程表示通过原点的直线(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交(3)系数满足什么条件时只与x轴相交(4)系数满足什么条件时是x轴解析：(1)把原点(0，0)代入AxByC0，得C0；(2)此时斜率存在且不为零即A0且B0；(3)此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B0且C0；(4)AC0，且B0.两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离是高考考查热点，公式见下表：距离类别条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|点到直线的距离P(x0，y0)l：AxByC0d两平行直
7、线的距离l1：AxByC10l2：AxByC20d直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线的距离为3，求直线l的方程解析：当所求直线经过坐标原点时，设其方程为ykx，由点到直线的距离公式可得3，解得k6，故所求直线的方程为y(6)x.当直线不经过坐标原点时，设所求方程为1，即xya0.由题意可得3，解得a1或a13.故所求直线方程为xy10或xy130.跟踪训练6直线xy20上点到原点的距离的最小值为(B)A1 B.C. D2解析：直线xy20上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度故dmin.7已知两平行直线分别过点(1，0)和(0，5)，且距离为5，则它们的方程是_解析
8、：设两条直线的方程分别为yk(x1)和y5kx.即kxyk0和kxy50，则由题意得5，解得k0或k，即y0和y5或5x12y50和5x12y600.答案：y0和y5或5x12y50和5x12y600在解析几何中，对称问题有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称1中心对称(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2ax1，2by1)，即P为线段P1P2的中点特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P(x，y)(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上必有l1l2，
9、且P到l1，l2的距离相等2轴对称(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称三条直线l，l1，l2共点，且l上任意点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；l1l2l且l1到l的距离等于l2到l的距离已知直线l：y3x3，试求：(1)点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线yx2关于直线l对称的直线l1的方程；(3)直线l关于点A(3，2)对称的直线方程解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则PP的中点M在l上，且
10、直线PP垂直于l，即解得P点的坐标为(2，7)(2)由已知，要求的直线l1过y3x3与yx2的交点，设其方程为(y3x3)(yx2)0.l上点(0，3)到yx20的距离d，l1的方程化为(1)y(3)x230，点(0，3)到l1的距离为d，2281022，解得，符合条件的直线方程为yx0，即7xy220.(3)设直线l关于点A(3，2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立解得代入l的方程后，得3x3y3170.即l3的方程为3xy170.跟踪训练8求直线m：2xy40关于直线l：3x4y10对称的直线l的方程解析：解法一设直线l上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(x0，42x0)，且P、Q两点关于直线l：3x4y10对称，则有消去x0，得2x11y160.解法二由m：2xy40知A(2，0)，B(0，4)为m上的点，设A、B关于l的对称点为A(a，b)、B(a，b)，则有解得即A.解得即B.kl.l的方程为y，即2x11y160.9从点A(4，1)出发的一束光线l，经过直线l1：xy30反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程解析：设B(1，6)关于直线l1的对称点为B(x0，y0)，则解得直线AB的方程为，即3x7y190.直线l的方程为3x7y190.