1、2015-2016学年湖北省孝感市五校教学联盟高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1复数的虚部是（）A2iBCD2用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（）A假设四内角至多有两个大于90度B假设四内角都不大于90度C假设四内角至多有一个大于90度D假设四内角都大于90度3已知曲线y=f（x）在x=5处的切线方程是y=x+8，则f（5）与f（5）分别为（）A3，3B3，1C1，3D1，14在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z
2、）；点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z）；点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z）；点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A3B2C1D05（文）设aR，则a1是1的（）A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件6以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y22x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）Ay=3x2或y=3x2By=3x2Cy2=9x或y=3x2Dy=3x2或y2=9x7设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD8定积分等于（）ABCD9以下三个命题中：设有一个回归方程=
3、23x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0）若在（0，1）内取值的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为0.8其中真命题的个数为（）A0B1C2D310已知F1、F2分别是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）ABCD211李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式
4、（）A24B14C10D912设f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（1）=0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知两定点F1（1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是14观察下列式子：1+，1+，1+，据以上式子可以猜想：1+15如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为16对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义：f（x）是
5、函数y=f（x）的导函数f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）y=f（x）”有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数f（x）=x33x2+3x的对称中心为三解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X和Y，它们的分布列分别为X012P0.1a0.4Y012P0.20.2b（1）求a，b的值；（2）计算X和Y的期望与方差，并以此分析甲、乙两射手的技术情况18已知命题p：方程=1
6、所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：复数z=（m3）+（m1）i对应的点在第二象限，又p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围19如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点（）求的值；（）求证：BN平面C1MN；（）求点B1到平面C1MN的距离20已知函数f（x）=x23x+（a1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）g（x）+3x（1）当a=5时，求函数f（x）的导函数f（x）的最小值；（2）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值21双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为（）求双曲线
7、C的方程；（）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点22已知函数fn（x）=x3（n+1）x2+x（nN*），数列an满足an+1=fn（an），a1=3（1）求a2，a3，a4；（2）根据（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）求证： +2015-2016学年湖北省孝感市五校教学联盟高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1复数的虚部是（）A2iBCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】我们将复数分母实数化后，化为a+bi的形式，则实数b即为复数Z的虚部【解答】解
8、：，故复数的虚部是故选B2用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（）A假设四内角至多有两个大于90度B假设四内角都不大于90度C假设四内角至多有一个大于90度D假设四内角都大于90度【考点】反证法与放缩法【分析】根据命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”的否定是：假设四内角都大于90，由此得到答案【解答】证明：用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，应假设命题的否定成立，而命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”的否定是：假设四内角都大于90，故选D3已知曲线y=f（
9、x）在x=5处的切线方程是y=x+8，则f（5）与f（5）分别为（）A3，3B3，1C1，3D1，1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义得到f（5）等于直线的斜率1，由切点横坐标为5，得到纵坐标即f（5）【解答】解：由题意得f（5）=5+8=3，f（5）=1故选：B4在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z）；点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z）；点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z）；点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A3B2C1D0【考点】空间向量的概念【分析
10、】由题意根据空间直角坐标系的特点，分别求出关于坐标轴和坐标平面对称的点，在判断是否正确【解答】解：P关于x轴的对称点为P1（x，y，z）；关于yOz平面的对称点为P2（x，y，z）；关于y轴的对称点为P3（x，y，z）；点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）故错误故选C5（文）设aR，则a1是1的（）A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；充要条件【分析】根据 由a1，一定能得到1但当1时，不能推出a1 （如 a=1时），从而得到结论【解答】解：由a1，一定能得到1但当1时，不能推出a1 （如 a=1时），故a1是1 的充分不必要条
11、件，故选 B6以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y22x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）Ay=3x2或y=3x2By=3x2Cy2=9x或y=3x2Dy=3x2或y2=9x【考点】抛物线的标准方程；圆的标准方程【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，3）；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程【解答】解：根据题意知，圆心为（1，3），（1）设x2=2py，p=，x2=y；（2）设y2=2px，p=，y2=9x故选D7设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f（
12、x）的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数与导数的关系：可知，当f（x）0时，函数f（x）单调递增；当f（x）0时，函数f（x）单调递减，结合函数y=f（x）的图象，利用排除法即可求解【解答】解：根据函数与导数的关系：可知，当f（x）0时，函数f（x）单调递增；当f（x）0时，函数f（x）单调递减结合函数y=f（x）的图象可知，当x0时，函数f（x）单调递减，则f（x）0，排除选项A，C当x0时，函数f（x）先单调递增，则f（x）0，排除选项B故选D8定积分等于（）ABCD【考点】定积分【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=1所围成的
13、图形的面积即可【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线y=与直线y=x，x=0，x=1围成的封闭图形的面积，故=，故选A9以下三个命题中：设有一个回归方程=23x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0）若在（0，1）内取值的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为0.8其中真命题的个数为（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】设有一个回归方程=23y，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位；利用两个随机变量的线性相关性强弱与相关系数的绝对值的关系即可判断出；根
14、据正态分布的对称性即可得出【解答】解：设有一个回归方程=23y，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，因此不正确；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，正确；在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0）若在（0，1）内取值的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为0.8，正确其中真命题的个数为2故选：C10已知F1、F2分别是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】先设F1F2=2c，由题意知F1F2P
15、是直角三角形，进而在RTPF1F2中结合双曲线的定义和PF1F2的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得【解答】解：设F1F2=2c，由题意知F1F2P是直角三角形，F1P2+F2P2=F1F22，又根据曲线的定义得：F1PF2P=2a，平方得：F1P2+F2P22F1PF2P=4a2 从而得出F1F222F1PF2P=4a2F1PF2P=2（c2a2）又当PF1F2的面积等于a2即F1PF2P=a22（c2a2）=a2c=a，双曲线的离心率e=故选A11李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演
16、出，则李芳有几种不同的选择方式（）A24B14C10D9【考点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理【分析】利用两个计数原理即可得出【解答】解：由题意可得：李芳不同的选择方式=43+2=14故选B12设f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（1）=0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得
17、g（1）=0、还有g（1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集【解答】解：设g（x）=xf（x），则g（x）=xf（x）=xf（x）+xf（x）=xf（x）+f（x）0，函数g（x）在区间（0，+）上是增函数，f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）=xf（x）是R上的奇函数，函数g（x）在区间（，0）上是增函数，f（1）=0，f（1）=0；即g（1）=0，g（1）=0xf（x）0化为g（x）0，设x0，故不等式为g（x）g（1），即1x；设x0，故不等式为g（x）g（1），即1x0故所求的解集为（1，0）（1，+）故选A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知
18、两定点F1（1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是【考点】椭圆的定义【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程【解答】解：F1（1，0）、F2（1，0），|F1F2|=2，|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，2a=4，a=2c=1b2=3，椭圆的方程是故答
19、案为：14观察下列式子：1+，1+，1+，据以上式子可以猜想：1+【考点】归纳推理【分析】由已知中的不等式：我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即，将n=2015，代入可得答案【解答】解：由已知中的不等式：，我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即，故答案为：15如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为【考点】几何概型【分析】求出图中阴影部分的面积为S=cosxdx=sinx=1，矩形的面积为，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率【解答】解：图中阴影部分的面积为S=cosxdx
20、=sinx=1，矩形的面积为，豆子落在图中阴影部分的概率为故答案为：16对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义：f（x）是函数y=f（x）的导函数f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）y=f（x）”有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数f（x）=x33x2+3x的对称中心为（1，1）【考点】导数的运算【分析】根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值【解答】解：f（x）=3x26x+3，f（x）=6x6，令f（x）=6
21、x6=0，得x=1又f（1）=1，所以f（x）的对称中心为（1，1）故答案为：（1，1）三解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X和Y，它们的分布列分别为X012P0.1a0.4Y012P0.20.2b（1）求a，b的值；（2）计算X和Y的期望与方差，并以此分析甲、乙两射手的技术情况【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由已知得，由此能求出a=0.5，b=0.6（2）利用期望和方差计算公式能求出X和Y的期望与方差，由此得到乙的平均得分高，甲的得分更加稳定【
22、解答】解：（1）由已知得，解得a=0.5，b=0.6（2）E（X）=00.1+10.5+20.4=1.3D（X）=0.1（01.3）2+0.5（11.3）2+0.4（21.3）2=0.41E（Y）=00.2+10.2+20.6=1.4，D（Y）=0.2（01.4）2+0.2（11.4）2+0.6（21.4）2=0.64，E（X）E（Y），D（X）D（Y）乙的平均得分高，甲的得分更加稳定18已知命题p：方程=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：复数z=（m3）+（m1）i对应的点在第二象限，又p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】根据条件分别判断p，q
23、的真假，结合复合命题的真假关系进行求解即可【解答】解：若p为真，则 得m2； 若命题q为真，则，得1m3； 由pq为真，pq为假知p，q一真一假；或； 解得m3，或1m2； m的取值范围是（1，23，+）19如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点（）求的值；（）求证：BN平面C1MN；（）求点B1到平面C1MN的距离【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（）建立空间坐标系，求出各个点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得的值（）由=0， =0，得到，从而得到BN平面C1MN（）设点B1到平
24、面C1MN的距离为h，由VB1C1MN=，解方程求得 h 值【解答】解：（）以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴建立空间坐标系则A（1，0，0），B（0，1，0），A1 （1，0，2），B1 （ 0，1，2），C1（0，0，2），M（，2），N（1，0，1），=（1，1，2），=（ 0，1，2）=（）=（1，1，1），=（，0），=（1，0，1），=+0=0， =101=0，BN平面C1MN（）设点B1到平面C1MN的距离为h，VB1C1MN=，（MNMC1 ）h=（B1MC1M ） NA1，即（ ）h=（ ）1，h=20已知函数f（x）=x23x+（a1）lnx
25、，g（x）=ax，h（x）=f（x）g（x）+3x（1）当a=5时，求函数f（x）的导函数f（x）的最小值；（2）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出h（x）的导数，得到h（x）的单调区间，求出函数的极值即可【解答】解：（1）f（x）=x+3，其中x0因为a=5，又x0，所以，当且仅当x=2时取等号，其最小值为1；（2）当a=3时，h（x）=x2+2lnx3x，h（x）=x+3=，x，h（x），h（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，2）2（2
26、，+）h（x）+00+h（x）递增递减2ln24递增函数h（x）在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值2ln2421双曲线C的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为（）求双曲线C的方程；（）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程【分析】（）设双曲线的方程是，则，由此能求出双曲线的方程（）由，得（3k2）x22kx2=0，由0，且3k20，得，且设A（x1，y1）、B（x2，y2），由以AB为直径的圆过原点，知 x1x2+y1y2=0由此能够求出k=1【解答】解：（）设双曲线的方程是，则，又c2=
27、a2+b2，b2=1，所以双曲线的方程是3x2y2=1（）由得（3k2）x22kx2=0，由0，且3k20，得，且设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OAOB，所以 x1x2+y1y2=0又，所以 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，所以，解得k=122已知函数fn（x）=x3（n+1）x2+x（nN*），数列an满足an+1=fn（an），a1=3（1）求a2，a3，a4；（2）根据（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）求证： +【考点】数学归纳法；数列与函数的综合【分析】（1）先求导，再根据递推公式分别求出a2，a3，a4；（2）利用数学归纳法证明即可，（3）利用裂项求和和放缩法即可证明【解答】解：（1），a1=3，又，（2）猜想an=n+2，用数学归纳法证明当n=1时显然成立，假设当n=k（kN*）时，ak=k+2，则当n=k+1（kN*）时，ak+1=ak2（k+1）ak+1=（k+2）2（k+1）（k+2）+1，=k+3=（k+1）+2，当n=k（kN*）时，猜想成立根据数学归纳法对一切nN*，an=n+2均成立（3）证明：当k2时，有，n2时，有1+ （1）+（）+（）=1+（1）1+=又n=1时， =1故对一切nN*，有2016年8月3日