1、第三章 不等式(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a1，a2(0，1).记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是A.MNB.MNC.MN D.不确定解析MNa1a2a1a21(a11)(a21)，因为a1，a2(0，1)，所以(a11)(a21)0，即MN0，故MN，故选B.答案B2.若ab0，则下列结论中不恒成立的是A.|a|b| B.C.a2b22ab D.ab2解析利用特殊值法，令a4，b1，得ab524，故选D.答案D3.已知不等式ax2bx20的解集是(1，2)
2、，则ab的值为A.1B.1C.0D.2解析由已知得12，12，a0，解得a1，b1，故ab0，故选C.答案C4.若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是A.(1，3) B.(，1)(3，)C.(3，1) D.(，3)(1，)解析原不等式组等价于由题意可得1a22a4a22a301a3.故选A.答案A5.直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.直线2xy100过点(5，0)，公共点只有1个.答案B6.已知x，y满足约束条件则z2xy的最大值是A.1 B.2 C.5 D.1解析作出可行域，如图中阴影部分
3、所示，易知在点A(1，1)处，z取得最大值，故zmax2111.答案A7.已知a0，b0，则2的最小值是A.2 B.2 C.4 D.5解析22222 4，当且仅当即ab1时取等号，故选C.答案C8.对任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则a的取值范围是A.(2，2 B.2，2C.(，2)2，) D.(，2(2，)解析由已知得即所以2a2.又当a2时，原不等式可化为40，显然恒成立，故a的取值范围是(2，2.答案A9.设a0，b0，则下列不等式不成立的是A.ab2 B.(ab)4C.ab2 D.a2解析a0，b0，ab22(当且仅当ab时取“”)，故A成立；(ab)24(当且仅
4、当ab时取“”)，故B成立；ab2(当且仅当ab时取“”)，故C成立；对于D，取a1，则a12，故D不正确.答案D10.若不等式x2ax10对一切x(0，)都成立，则a的最小值A.0 B.2 C.3 D.解析原不等式可化为ax，因为x2，当且仅当x1时等号成立，所以a2，则a的最小值为2.答案B11.设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则aA.5 B.3C.5或3 D.5或3解析当a1，即a1时，目标函数在A点取得最小值.由A，知zmin7，解得a3或5(舍去).答案B12.设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为A. B. C. D.4解析不
5、等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，当直线axbyz(a0，b0)过直线xy20与直线3xy60的交点(4，6)时，目标函数zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6，而2(当且仅当ab时取等号).故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.对于实数x，当且仅当nxn1(nN)时，规定xn，则不等式4x236x450的解集是_.解析由不等式，得x，解得2x8.答案x|2x814(2018浙江)若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_解析由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，
6、(1，1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)由线性规划的知识可知，目标函数zx3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值zmin462，最大值zmax268.答案2815.(2017天津)若a，bR，ab0，则的最小值为_.解析a，bR，且ab0，4，又ab0时，当且仅当ab且ab时取等号，原式的最小值为4.答案416.已知a，b(0，)且ab1，那么下列不等式：ab；ab；2中，恒成立的有_(填序号).解析a，b(0，)，ab1，ab，ab，()2ab2abab2，.故正确.2 (当且仅当a22b2时等号成立)，不正确.答案三、解答题(本大题共6小题，共
7、70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a，b为正实数，试比较与的大小.解析().因为a，b为正实数，所以0，0，()20.于是有0.当且仅当ab时，等号成立.所以，当且仅当ab时取等号.18.(12分)已知不等式mx2nx0的解集为).(1)求m，n的值；(2)解关于x的不等式：(2a1x)(xm)0，其中a是实数.解析(1)依题意，得m1，n.(2)原不等式为(2a1x)(x1)0，即x(2a1)(x1)0.当2a11即a1时，原不等式的解集为x|2a1x1；当2a11即a1时，原不等式的解集为；当2a11即a1时，原不等式的解集为x|1x2a1.综上所
8、述：当a1时，不等式解集为x|2a-1x1;当a=1时，原不等式解集为;当a1时，不等式解集为x|1x2a-1.19.(12分)已知函数f(x)x(x3).(1)求函数f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)7恒成立，求实数t的取值范围.解析(1)因为x3，所以x30.所以f(x)xx332 39.当且仅当x3，即(x3)29时，上式取得等号，又因为x3，所以x6，所以当x6时，函数f(x)的最小值是9.(2)由(1)知，当x3时，f(x)的最小值是9，要使不等式f(x)7恒成立，只需97，所以20即0，解得t2或t1.所以实数t的取值范围是(，2(1，).20.(12分)(2016天津)某化
9、肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A、B、C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.解析(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为
10、图1中的阴影部分.图1图2(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.解方程组得点M的坐标为(20，24).所以zmax220324112.综上，生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.21.(12分)已知函数f(x)x2x1，a0.(1)当a时，解不等式f(x)0；(2)比较a与的大小；(3)解关于x的不等式f(x)0.解析(1)当a时，有不等
11、式f(x)x2x10，所以(x2)0，所以不等式的解集为).(2)因为a且a0，所以当0a1时，有a.当a1时，有a，当a1时，有a.(3)因为不等式f(x)(xa)0.当0a1时，有a，所以不等式的解集为)；当a1时，有a，所以不等式的解集为)；当a1时，不等式的解集为1.22.(12分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入3张，则该月需用去运费和保管费共60元，现在全月只有52元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费
12、和保管费的总费用f(x)；(2)请问该月应将每批进货的数量控制在什么范围内，资金才够用？写出你的结论，并说明理由；(3)要使得该月用于支付运费和保管费的资金花费最少，每批进货的数量应为多少？解析(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张，则共需分批，每批价值为20x元，由题意f(x)4k20x，由x3时，y60得k，f(x)4x(0x36，xN*).(2)每批进货的数量x应控制的范围是4x9，资金才够用.理由如下：令4x52，此不等式化为(x4)(x9)0，解得4x9.(3)由(1)知f(x)4x(0x36，xN*)，f(x)248(元)，当且仅当4x，即x6时，上式等号成立.故每批购入6张书桌，可使用于支付运费和保管费的资金花费最少.