1、第九章概 率第一节 随机事件的概率1概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值(3)概率的几个基本性质概率的取值范围：0P(A)1.必然事件的概率：P(A)1.不可能事件的概率：P(A)0.概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A
2、B为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)2互斥事件和对立事件事件定义性质互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件P(AB)P(A)P(B)，(事件A，B是互斥事件)；P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(事件A1，A2，An任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件P()1P(A)小题体验1(教材习题改编)如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是_答案：2(教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射
3、击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是_答案：0.903(教材习题改编)给出下列三个命题，其中正确命题有_个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率解析：错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念答案：01易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求
4、二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件小题纠偏1甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立2在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()ABC D解析：选A从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，选出的
5、火炬手的编号相连的概率为P.题组练透1(2016湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是红球”C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：选DA中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系2(易错题)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，
6、也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件解析：选D由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件3在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是()A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事
7、件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.谨记通法判别互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥如“题组练透”第2题，利用此法就不会易错事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集典例引领(2015陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期1112131415
8、1617181920天气阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期21222324252627282930天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.由题悟法1概率与
9、频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率即时应用近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收
10、物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为0.7，所以P(A)约为10.70.3.典例引领(2016洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候
11、的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.由题悟法求复杂互斥事件概率的
12、2种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便提醒应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)即时应用袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到
13、绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，由事件A和事件BCD是对立事件可得P(A)1P(BCD)1P(B)P(C)P(D)，即P(B)P(C)P(D)1P(A)1，联立可得P(B)，P(C)，P(D).即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为()A至少有一个白球；都是白球B至少有一个白球；至少有一个红球C恰有一个白球；一个白球一个黑球D至少有一个白球；红球、黑球各一个解
14、析：选D红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”等事件，故不是对立事件2掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上，事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是()AP(M)，P(N)BP(M)，P(N)CP(M)，P(N)DP(M)，P(N)解析：选D基本事件空间(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，M(正，反)，(反，正)，N(正，正)，(正，反)，(反，正)，故P(M)，P(N).3有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数
15、，则所组成的两位数为奇数的概率是()ABC D解析：选C将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为，选C.4同时掷两枚质地均匀的骰子，则(1)向上的点数相同的概率为_；(2)向上的点数之和小于5的概率为_解析：(1)同时掷两枚骰子共有36种情况，其中向上点数相同的有6种情况，其概率为；(2)向上点数之和小于5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种情况，其概率为.答案：(1)(2)5现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲
16、被选中的概率为_. 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙；甲、丙；乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2015青岛二中月考)从1,2，9中任取两数，给出下列事件：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数其中是对立事件的是()A BC D解析：选C根据题意，从1,2，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况依次分析所给的4个事件可得：恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况，不是对立事件；至
17、少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个数都是奇数”不是对立事件；至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个数都是偶数”是对立事件；至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件2(2015北京海淀模拟)为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2 000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为()A10 000 B20 000C2
18、5 000 D30 000解析：选C由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水池中鱼的尾数是x，则有，解得x25 000.3(2016河北大城一中月考)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A0.95 B0.97C0.92 D0.08解析：选C记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.4(2015孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学如果他们依次走出教室，则第2
19、位走出的是男同学的概率为()A BC D解析：选A已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P.5(2016云南一检)在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A BC D解析：选C分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P.6(2016兰州诊断)从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被
20、抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于_解析：从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于.答案：7一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为_解析：随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况所以所求概率为.答案：8(2016温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过
21、5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为_解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为.答案：9从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，所求概率为1P(A)0.35.答案：0.3510(2015北京高考)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种
22、商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商
23、品的概率可以估计为0.3.(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016合肥一模)某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为()A BC D解析：选B由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：ABCEH，ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，ADFG
24、H，共6条记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，共4个，所以P(M)，即他经过市中心O的概率为.2一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A BC D解析：选D从8个球中有放回的每次取一个球，取2次共有64种取法两个球的编号和不小于15，则两球号码可以为7,8；8,7；8,8三种可能，其概率为P.3黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以互相输
25、血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A，B，C，D，它们是互斥的由已知，有P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件BD，根据概率加法公式，得P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故
26、“任找一个人，其血不能输给小明”为事件AC，且P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36.第二节 古典概型古典概型(1)特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性(2)古典概型概率公式：P(A).小题体验1(教材习题改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是()ABC D解析：选C先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.2有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同
27、，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A BC D解析：选A甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P.3从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种P答案：1在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的2概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当
28、AB，即A，B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时P(AB)0.小题纠偏1第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，则至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是()A BC D解析：选C从6人中抽取2人的基本事件个数为15，“至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学”的对立事件为“两名志愿者都来自圣彼得堡国立大学”，而事件“两名志愿者都来自圣彼得堡国立大学”包含的基本事件个数为6，所求概率为P1.2从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张事件A为“抽到红桃
29、K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(AB)_(结果用最简分数表示)解析：P(A)，P(B)，P(AB)P(A)P(B).答案：题组练透1(2016池州一中模拟)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为()A.B.C. D.解析：选D令红球、白球、黑球分别为A，B1，B2，C1，C2，C3，则从袋中任取两球有(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)
30、，共15种取法，其中两球颜色相同的有(B1，B2)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共4种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得P1.2(2016济宁模拟)高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占一半现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为()A BC D解析：选C根据题意知男生共有40人，其中是男生且为三好学生的人数共有5人，故选出的是男生且为三好学生的概率P.3(易错题)(2015山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团
31、未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A
32、1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率为P.谨记通法古典概型中基本事件的2种探求方法(1)枚举法适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的，如“题组练透”第3题(2)问事件的列出易错(2)树状图法适合较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同有时也可以看
33、成是无序的，如(1,2)和(2,1)相同命题分析古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高常见的命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合；(2)古典概型与直线、圆相结合；(3)古典概型与函数相结合；(4)古典概型与统计相结合题点全练角度一：古典概型与平面向量相结合1已知向量a(x，1)，b(3，y)，其中x随机选自集合1,1，3，y随机选自集合1,3,9(1)求ab的概率；(2)求ab的概率解：由题意，得(x，y)所有的基本事件为(1,1)，(1,3)，(1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3
34、)，(3,9)，共9个(1)设“ab”为事件A，则xy3.事件A包含的基本事件有(1,3)，共1个故ab的概率为P(A).(2)设“ab”为事件B，则y3x.事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个故ab的概率为P(B).角度二：古典概型与直线、圆相结合2(2016洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22有公共点的概率为_解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共36种，其中满足直线axby0与圆(x2)2y22有公共点，即满足 ，a2b2的数组(a，b)有
35、(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共65432121种，因此所求的概率等于.答案：角度三：古典概型与函数相结合3已知关于x的一元二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解：(1)函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为x，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba.若a1，则b1；若a2，则b1,1；若a3，则b1,1.事件包
36、含基本事件的个数是1225，所求事件的概率为.(2)由(1)知当且仅当2ba且a0时，函数f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，所求事件的概率为P.角度四：古典概型与统计相结合4(2015安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80，90)，90,100(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在40,
37、60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40,50)的概率解：(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有：500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有：500.004102(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，
38、A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种，即B1，B2，故所求的概率为.方法归纳解决古典概型交汇命题的关注点解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的面上的点数小于第二次向上的面上的点数，我们称其为前效实验；若第二次向上的面上的点数小于第一次向上的面上的点数，我们称其为后效实验；若两次向上的面上的点数相等，我们称其为等效实验那么一个人投掷该骰子两次
39、后出现等效实验的概率是()ABC D解析：选B投掷一枚质地均匀的骰子两次的所有基本事件共36种，其中两次向上的面上的点数相等的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种，所以一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率P.2(2016浙江金丽衢十二校二联)4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为()A.B.C. D.解析：选B因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共2
40、种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为.3在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A BC D解析：选B如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P.AB4如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为()A BC D解析：选D只考虑A，B两个方格的填法，不考虑大小，A，B两个方格有16种填法要使填入A方格的数字大于B方
41、格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为.5从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A BC D解析：选D从5个球中任取三个共有10种结果，没有白球只有一种结果，所以至少有一个白球的概率为1.二保高考，全练题型做到高考达标1(2015全国卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A BC
42、D解析：选C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.2设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2mxn0有实根的概率为()A BC D解析：选C先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种其中使方程
43、x2mxn0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种故所求概率为.3一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab，bc时称为“凹数”(如213,312)等若a，b，c1,2,3,4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A BC D解析：选C由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个；由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421，共6个；由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431，共6个；由2,
44、3,4组成的三位数有234,243,324,342,423,432，共6个所以共有666624个三位数当b1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b2时，有324,423，共2个“凹数”故这个三位数为“凹数”的概率P.4设集合A1,2，B1,2,3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线xyn上”为事件Cn(2n5，nN)，若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为()A3 B4C2和5 D3和4解析：选D分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(
45、1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，ab2的有1种情况，ab3的有2种情况，ab4的有2种情况，ab5的有1种情况，所以可知若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为3和4.5(2015太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a(m，n)与向量b(1,0)的夹角为，则的概率为()A BC D解析：选B法一：依题意，向量a(m，n)共有6636(个)，其中满足向量a(m，n)与向量 b(1,0)的夹角，即nm的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n1时，m有5个不同的取值；第二类，当n2时，m有4个不同的取值；第三类，当n3时，m有3个不同
46、的取值；第四类，当n4时，m有2个不同的取值；第五类，当n5时，m有1个取值，因此满足向量a(m，n)与向量b(1,0)的夹角的(m，n)共有1234515(个)，所以所求概率为.法二：依题意可得向量a(m，n)共有6636(个)，其中满足向量a(m，n)与向量b(1,0)的夹角，即n的概率是_解析：由e，得b2a.当a1时，b3,4,5,6四种情况；当a2时，b5,6两种情况，总共有6种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果所求事件的概率P.答案：8(2016海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成
47、绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为_解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于(A
48、1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，所以P()，由对立事件的概率计算公式得P(N)1P()1.答案：9(2016兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)
49、，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)，因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)1P(
50、)1，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.10(2015天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的
51、所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9种因此，事件A发生的概率P(A).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知函数f(x)x3ax2b2x1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A BC D
52、解析：选D对函数f(x)求导可得f(x)x22axb2，要满足题意需x22axb20有两个不等实根，即4(a2b2)0，即ab.又(a，b)的取法共有9种，其中满足ab的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P.2在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙
53、获胜，这样规定公平吗？解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5
54、,4)，共10个则P(A).(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个则P(B)，所以P(C)1P(B).因为P(B)P(C)，所以这样规定不公平第三节 几何概型1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性3几何概型的概率公式P(A).
55、提醒求解几何概型问题注意数形结合思想的应用小题体验1(教材习题改编)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()ABC D解析：选C试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P.2(教材习题改编)平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这平面上，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是_答案：3(2016陕西质检)在区间20,80内任取一个实数m，则实数m落在区间50,75内的概率为_解析：选择区间长度度量，则所求概率为.答案：易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，
56、不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的小题纠偏1有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为()A BC D解析：选A如图，将细绳八等分，C，D分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于米(C，D两点除外)由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于米的概率为P.2在等腰直角三角形ABC中，D为斜边AB上任意一点，则AD的长小于AC的长的概率为()A B1C D解析：选C依题意得知，所求的概率等于.题组练透1(2015山东高考)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()
57、ABC D解析：选A不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.2(2016衡水一模)在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为()A BC D解析：选C设|AC|x，则|BC|12x，所以x(12x)20，解得2x90的概率为_解析：如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则AMB90，否则，M点位于半圆上及空白部分，则AMB90，所以AMB90的概率P.答案：角度二：与线性规划交汇命题的问题3(2015湖北高考)在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“x
58、y”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1p2 Bp2p1Cp2p1 Dp1p2解析：选D如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“xy”对应的图形为阴影ODE，其面积为，故p1；事件“xy”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，故p2，则p1p2，故选D.4(2016枣庄八中模拟)在区间1,5和2,6内分别取一个数，记为a和b，则方程1(ab)表示离心率小于的双曲线的概率为()A BC D解析：选Be2125，24，2，即ab2a.作出表示的区域如图，并作出直线b2a与ba.S阴443342，所求概率P. 方法归纳求解与面积有关的几何概型的关键
59、点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解一抓基础，多练小题做到眼疾手快1利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2xa0无实根的概率为()ABC D解析：选C要使x2xa0无实根，则14a，则所求的概率等于.2设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A BC D解析：选D如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的
60、面积S阴4，所求事件的概率P.3在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为()A BC D解析：选A因为|x|1，所以1x1，所以所求的概率为.4已知平面区域D(x，y)|1x1，1y1，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线ykx(kR)下方的概率为()A BC D解析：选A由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线ykx将其面积平分，如图，所求概率为.5如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3 km的概率为()A BC D解析：选B根据几何概型公式，小于3 km
61、的圆环面积为(3222)5；圆环总面积为(4222)12，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P(A).二保高考，全练题型做到高考达标1(2016宁波一模)已知实数a满足3aP2 BP1P2CP1P2 DP1与 P2的大小不确定解析：选C若f(x)的值域为R，则a240，得a2或a2，故P1.若f(x)的定义域为R，则a240，得2a2，故P2，所以P1P2.2(2016石家庄一模)在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是()A BC D解析：选C设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域，如图所示，阴影部
62、分的面积是12，所以这两个数之和小于的概率是.3(2015山西四校联考)在面积为S的ABC内部任取一点P，则PBC的面积大于的概率为()A BC D解析：选D设AB，AC上分别有点D，E满足ADAB且AEAC，则ADEABC，DEBC且DEBC.点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，DE到BC的距离等于ABC高的.当动点P在ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，当P在ADE内部运动时，PBC的面积大于，所求概率为2.4(2016石家庄模拟)已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2 km处，B地在O地正北方向2 km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测
63、绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A BC1 D1解析：选D由题意知在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是11.5(2015广州摸底)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为()A. B.C. D.解析：选D平面区域1的面积为222，平面区域2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C(0,1)由解得即D，则ACD的面积为S1，则四
64、边形BDCO的面积SSOABSACD2.在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为. 6(2016鞍山调查)一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为_解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为51230，阴影部分的面积为222，所以所求概率为.答案：7(2016湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是_解析：依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于 ，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.答案：8(2016银川一模)已知在圆
65、(x2)2(y2)28内有一平面区域E：点P是圆内的任意一点，而且点P出现在任何一点处是等可能的若使点P落在平面区域E内的概率最大，则m_.解析：如图所示，当m0时，平面区域E(阴影部分)的面积最大，此时点P落在平面区域E内的概率最大答案：09甲、乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场(在此期间货场没有其他车辆)，求至少有一辆车需要等待装货物的概率解：设甲、乙货车到达的时间分别为x，y分钟，据题意基本事件空间可表示为，而事件“有一辆车等待装货”可表示为A，如图
66、，据几何概型可知其概率等于P(A).10已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“ab2”为事件A，求事件A的概率；在区间0,2内任取2个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率解：(1)依题意，得n2.(2)记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，
67、k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“ab2”的有4种：(s，k)，(s，h)(k，s)，(h，s)所以所求概率为P(A).记“x2y2(ab)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2y24恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为(x，y)|0x2,0y2，x，yR，而事件B构成的区域为B(x，y)|x2y24，(x，y)所以所求的概率为P(B)1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016陕西质检)在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为()A B
68、C D解析：选B若函数f(x)有零点，则4a24(b2)0，即a2b2.所有事件是(a，b)|a，b，S(2)242，而满足条件的事件是(a，b)|a2b2，s422 32，则概率P .2在区间0,10上任取一个实数a，使得不等式2x2ax80在(0，)上恒成立的概率为_解析：要使2x2ax80在(0，)上恒成立，只需ax2x28，即a2x在(0，)上恒成立又2x28，当且仅当x2时等号成立，故只需a8，因此0a8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为.答案：3已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b
69、的夹角是钝角的概率解：(1)设“ab”为事件A，由ab，得x2y.基本事件空间为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12个基本事件；其中A(0,0)，(2,1)，包含2个基本事件则P(A)，即向量ab的概率为.(2)因为x1,2，y1,1，则满足条件的所有基本事件所构成的区域如图为矩形ABCD，面积为S1326.设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x2y.事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S222，则P(B).即
70、向量a，b的夹角是钝角的概率是.1.(2015福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上. 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.B.C. D.解析：选B因为f(x)B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(2,2)，A点坐标为(2,0)，故矩形ABCD的面积为236，阴影部分的面积为31，故P.2(2015重庆高考)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_解析：设方程x22px3p20的两个负根分别为x1，x2，则有解得p1或p2.故所求概率P.答
71、案：3(2013山东高考)在区间3,3上随机取一个数x，使得|x1|x2|1成立的概率为_解析：当x1时，不等式|x1|x2|1，即(x1)(x2)31，此时无解；当12时，不等式|x1|x2|1，即x1x231，解得x2.在区间3,3上不等式|x1|x2|1的解集为1x3，故所求的概率为.答案：1.(2014山东高考)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随
72、机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：501,1503,1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事
73、件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.2(2015四川高考)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法下
74、表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率解：(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位号3241532541(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8种设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P(A).故乘客P
75、5坐到5号座位的概率是.3(2015湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率你认为正确吗？请说明理由解：(1)所有可能的摸出结果是A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2(2)不正确理由如下：由(1)知，
76、所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为1，故这种说法不正确4(2015福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8内的概率；(2)根据
77、分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数解：(1)融合指数在7,8内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共10个其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，共9个所以所求的概率P.(2)这20家“省级
78、卫视新闻台”的融合指数平均数等于455.56.57.56.05.5(2014天津高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种因此，事件M发生的概率P(M).
