1、第八章 立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图基础知识整合1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环 (3)特殊的四棱柱 2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中
2、平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画虚线1常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形(4)水平放置的圆
3、柱的正视图和侧视图均为全等的矩形2在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线3斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”4直观图与原图形面积的关系S直观图S原图形(或S原图形2S直观图) 1下列结论正确的是()A侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B六条棱长均相等的四面体是正四面体C有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台答案B解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误
4、；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误2如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A B C D答案C解析由几何体的结构可知，如图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()A2 B2 C4 D8答案D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，BOA45且OB2，那么在原图形中，BOA 90且O
5、B4，因此，原平面图形的面积为248，故选D.4(2019广州期末)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()答案B解析俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.5若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱故选D.6某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析根据三视图，还原四棱锥，如图在四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABCD，ADDC.AB1，ADDCSD2.显然SDA，SDC是直角三角形另外SDA
6、B，ABAD，SDADD，AB平面SAD.又SA平面SAD，ABSA，即SAB是直角三角形又计算SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形故选C.核心考向突破考向一空间几何体的结构特征例1下列说法正确的是()A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明PAB，PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点识别
7、空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可即时训练1.下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案D解析如图1知，A不正确；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B不正确；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，
8、由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确考向二平面图形与其直观图的关系例2(1)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC2，则原图形OABC的面积为()A24 B12 C48 D20答案A解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OABC6，设平行四边形OABC的高为OE，则OEOC，OC2，OE4，SOABC6424.故选A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_答案解析因为OE 1，所以OE，EF，所以直观图ABCD的面积
9、为S(13).画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量即时训练2.(2019桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2答案D解析如图、所示的平面图形和直观图由可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于点D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，B
10、C，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为_答案8 cm2解析解法一：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图2 cm2，故S原图形2S直观图8 cm2.精准设计考向，多角度探究突破考向三空间几何体的三视图角度1由空间几何体的直观图识别三视图例3(1)(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带
11、卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2019南昌联考)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()答案C解析由题意，得该四棱锥的直观图如图1所示，则其三视图如图2.角度2 由空间几何体的三视图还原直观图例4(1)(2019广州二模)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案D解析先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的所有面中直角三角形的个数是()A2
12、B3 C4 D5答案C解析由三视图知，可将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥PABCD.易知四棱锥PABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的所有面中直角三角形的个数是4，故选C.角度3由两个视图补画第三个视图例5(1)(2019天津模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线故选B.(2)(2019沈阳模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯
13、视图的是()答案C解析若俯视图为C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是C.故选C.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 (2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑(3)常见的三视图对应的几何体三视图为三个三角形，对应三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；三视图为一个三角形，两个
14、四边形，对应三棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱即时训练4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()答案A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图故选A.5(2019广州市综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是()答案D解析由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为224，因为该几何体的体积为42，满足条件，所以该几何体的俯视图可以为一个直角三角形6(2019石河子模拟)如图，点E，F分别是正方体的侧面ADD1A1和侧
15、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的各面上的正投影可能是图中的_(要求把可能的序号都填上)答案解析其中可以是四边形BFD1E在正方体的下底面ABCD上的投影；可以是四边形BFD1E在正方体的侧面BCC1B1上的投影如图是一正方体被过棱的中点M，N和顶点A，D，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为()答案B解析还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.答题启示不规则的几何体实际上是规则几何体利用“割”“补”出来的，所以识别其三视图时，常用的思路是“复原”，即把这个放在规则几何体(如正方体、长方体)中去认识几何体的特征对点训练正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()答案C解析过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.