1、2020-2021学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1在复平面内，复数z+i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2半径为1的球的体积为（）ABC4D3已知向量若，则m（）A6B6CD4“直线a与直线b没有交点”是“直线a与直线b为异面直线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c2：3：4，则ABC为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形6若数据x1，x2，xn的方差为2，则2x13，2x23，2xn3的方差为（
2、）A1B2C4D87已知直线l，m和平面，下列命题正确的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若l，lm，则mD若l，m，l，m，则8已知向量满足：设与的夹角为，则sin的最大值为（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆、150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（）A样本容量为500B采用简单随机抽样比分层随机抽样合
3、适C应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等D应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆、150辆、250辆10已知非零向量，下列命题正确的是（）A若，则B若，则CD11在ABC中，BAC60，B45，AB2，点D为直线BC上的点则（）A当ADBC时，B当时，ADBCC当AD为BAC的角平分线时，D当时，AD为BAC的角平分线12如图，在圆锥SO中，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，点M为高SO上一动点，圆柱MO为圆锥SO的内接圆柱（内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上）点P为圆锥底面的动点，且AMMP则（）A圆柱MO的侧面积的最大值为B圆柱MO的轴截面面积的最大值为C当时，
4、点P的轨迹长度为D当时，直线MP与圆锥底面所成角的最大值为60三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13已知复数z3m+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m 14已知直线l与平面所成角为30，若直线m，则l与m所成角的最小值为 15某小区12户居民四月份月用水呈（单位：t）分别为：5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.510.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1则所给数据的第75百分位数是 16在ABC中，AB2，AC1若对任意的tR，恒成立，则角A的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知复数z
5、1i（i为虚数单位）（1）求|z|；（2）若，求实数a和b的值18如图，在三棱锥PABC中，PAPBABACBC2，PC1（1）求证：PCAB；（2）求点P到平面ABC的距离19某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：150，160），160，170），170，180），180，190，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值20已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答cosAcos2Bcos2Csin2Bsin2C；
6、c（sinB+sinC）asinAbsinB：ABC的面积为（1）求角A的大小；（2）若点D满足，且，求4c+b的最小值21在矩形ABCD中，AB4，AD2点E，F分别在AB，CD上，且AE2，CF1沿EF将四边形AEFD翻折至四边形AEFD，点A平面BCFE（1）求证：CD平面ABE；（2）A，B，C，D四点是否共面？给出结论，并给予证明；（3）在翻折的过程中，设二面角ABCE的平面角为，求tan的最大值参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1在复平面内，复数z+i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由复数的几何意义可得该复数对应的点，由此可得
7、答案解：复数对应的点为（，1），位于第二象限，故选：B2半径为1的球的体积为（）ABC4D【分析】根据球的体积公式计算即可解：球的体积V，故选：D3已知向量若，则m（）A6B6CD【分析】根据即可得出m60，然后即可得出m的值解：，且，m60，m6故选：A4“直线a与直线b没有交点”是“直线a与直线b为异面直线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由异面直线的定义即可判断出结论解：若直线a与直线b没有交点，则直线a与直线b为异面直线或平行直线，充分性不成立，若a，b是异面直线，则直线a与直线b没有交点，必要性成立，直线a与直线b没有交点是直线a与直线b
8、为异面直线的必要不充分条件故选：B5已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c2：3：4，则ABC为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果解：设a2k，b3k，c4k，利用余弦定理：cosC0，故故三角形为钝角三角形故选：C6若数据x1，x2，xn的方差为2，则2x13，2x23，2xn3的方差为（）A1B2C4D8【分析】利用方差的性质直接求解解：数据x1，x2，xn的方差为2，2x13，2x23，2xn3的方差为：2228故选：D7已知直线l，m和平面，下列命题正确的是（）A若l，l，则B若l，l，则C若l，lm，则
9、mD若l，m，l，m，则【分析】对于A，与相交或平行；对于B，由面面平行的判定定理得；对于C，m或m；对于D，与相交或平行解：直线l，m和平面，对于A，若l，l，则与相交或平行，故A错误；对于B，若l，l，则由面面平行的判定定理得，故B正确；对于C，若l，lm，则m或m，故C错误；对于D，若l，m，l，m，则与相交或平行，故D错误故选：B8已知向量满足：设与的夹角为，则sin的最大值为（）ABCD【分析】根据题意，设向量夹角为，|t，则|2t，由数量积的计算公式用t表示|，由向量夹角公式可得cos的表达式，分析可得cos的最小值，结合同角三角函数基本关系式分析可得答案解：根据题意，设向量夹角为
10、，|t，则|2t，若|3，则22+25t24t2cos9，变形可得cos，则有11，解可得1t3，|22+2+25t2+4t2cos10t29，则|，则cos，分析可得：当即t时，coa取得最小值，又由sin0，则sin，故当cos取得最小值时，sin取得最大值，且其最大值为，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆、150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中
11、抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（）A样本容量为500B采用简单随机抽样比分层随机抽样合适C应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等D应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆、150辆、250辆【分析】利用样本容量的定义判断选项A，由分层抽样的定义以及分层抽样的特点判断选项B，C，D解：因为抽取500辆进行检测，所以样本容量为500，故选项A正确；因为汽车分为三个型号，故应该采用分层抽样比较合适，故选项B错误；由分层抽样的定义可知，三个批次的汽车被抽到的概率都是相同的，故选项C错误；设三种型号的车依次抽取x，y，z辆，则有，解得x100，y150，z250，所以三个批次
12、分别抽取100辆、150辆、250辆，故选项D正确故选：AD10已知非零向量，下列命题正确的是（）A若，则B若，则CD【分析】直接利用向量的共线，向量的数量积，三角不等式的应用，判断A、B、C、D的结论解：非零向量，对于A：若，则，故A正确；对于B：若0，即，故和不一定相等，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确故选：AD11在ABC中，BAC60，B45，AB2，点D为直线BC上的点则（）A当ADBC时，B当时，ADBCC当AD为BAC的角平分线时，D当时，AD为BAC的角平分线【分析】对于A，由题意可得ADB90，由正弦定理可得AD，即可判断；对于B，由题意在ABD中，由正弦定理
13、解得sinADB1，又ADB（0，180），可得ADB90，可得ADBC，即可判断；对于C，由题意可得可得BADBAC30，可得ADB105，在ABD中，由正弦定理可得AD22，即可判断；对于D，由题意，在ABD中，由正弦定理可得sinADB，结合ADB（0，180），可得ADB105，或75，可得BAD30，或60，可得CAD30，或0，矛盾，即可判断解：对于A，因为在ABD中，ADBC，可得ADB90，又B45，AB2，由正弦定理，可得，可得AD，故A正确；对于B，当时，又B45，AB2，在ABD中，由正弦定理，可得，解得sinADB1，因为ADB（0，180），所以ADB90，可得ADB
14、C，故B正确；对于C，因为当AD为BAC的角平分线时，可得BADBAC30，又B45，可得ADB180BADB105，又AB2，在ABD中，由正弦定理，可得，可得AD22，故C正确；对于D，当时，在ABD中，由正弦定理，可得，可得sinADB，因为ADB（0，180），所以ADB105，或75，可得BAD180BADB30，或60，又BAC60，可得CAD30，或0，矛盾，故D错误故选：ABC12如图，在圆锥SO中，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，点M为高SO上一动点，圆柱MO为圆锥SO的内接圆柱（内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上）点P为圆锥底面的动点，且AMMP则（）A圆柱MO的侧
15、面积的最大值为B圆柱MO的轴截面面积的最大值为C当时，点P的轨迹长度为D当时，直线MP与圆锥底面所成角的最大值为60【分析】设圆柱MO的底面半径为r（0r1），则高hMO（1r），进而由基本不等式可判断A、B，在AB上取一点H，使得AHMH，探究可得点P的轨迹是过点H且垂直AB的弦，进而可判断C、D解：设内接圆柱MO的底面半径为r（0r1），高MOh，则，即h（1r），圆柱MO的侧面积S12rh2r（1r）2（），当仅当r时取等号，故A正确；圆柱MO的轴截面面积S22rh2r（1r）2（），当仅当r时取等号，故B错误；在AB上取一点H，使得AMMH，因为AMMP，且MPMHM，所以AM平面MP
16、H，则AMPH，又因为PHMO，且AMMOM，所以PH平面AMH，则PHAH，所以点P的轨迹是过点H且垂直AB的弦，当MO时，由OMOAOH，得OH，此时，该弦的长度为2，故C正确；当OM时，由OMOAOH，得OH，则当点P与点H重合时，直线MP与圆锥底面所成角的最大值为MHA60，故D正确；故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13已知复数z3m+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m3【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值解：复数z3m+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，3m0，且m+10，求得m3，故答案为：314已知直线l与平面所成角为30，若直线m
17、，则l与m所成角的最小值为 30【分析】根据最小角定理可得则l与m所成角最小的角为30解：根据最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线成角中最小的角，则可得则l与m所成角最小的角为30， 故答案为：3015某小区12户居民四月份月用水呈（单位：t）分别为：5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.510.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1则所给数据的第75百分位数是 14.4【分析】先把数据从小到大排列，然后根据百分位数的计算公式求解即可解：所给数据从小到大排列为：3.5，4.9，5.4，6.8，7.1，7.7，10.5，11.1，13.6，15.2，16.8，2
18、0.5，因为1275%9，所以这组数据的75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即14.4，故答案为：14.416在ABC中，AB2，AC1若对任意的tR，恒成立，则角A的取值范围为 【分析】设A（0，0），B（2，0），A，（0），则C（cos，sin），利用坐标表示出向量，代入条件整理可得t+4tcos+10对任意的tR恒成立，再结合二次函数性质即可求解出答案解：设A（0，0），B（2，0），A，（0），则C（cos，sin），（2，0），（cos，sin），因为|，即t+4tcos+10，对任意的tR恒成立，16cos40，解得cos，则，故答案为：，四、解答题：本大题共5小题，
19、共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知复数z1i（i为虚数单位）（1）求|z|；（2）若，求实数a和b的值【分析】（1）根据已知条件，结合复数模公式，即可求解（2）根据已知条件，结合复数的乘法法则，以及复数相等性原则，即可求解解：（1）z1i，（2）a+bii，即a0，b118如图，在三棱锥PABC中，PAPBABACBC2，PC1（1）求证：PCAB；（2）求点P到平面ABC的距离【分析】（1）取AB中点D，连接PD，CD，即可得到ABPD，ABCD，进而根据线面垂直定理可得AB平面PCD，即可证得PCAB；（2）过点P作PKCD，垂足K，可得PK即为点P到平面ABC的距
20、离，利用余弦定理可求得cosPDC，进而可得PK【解答】证明：（1）取AB中点D，连接PD，CD，因为PAPBABACBC2所以ABPD，ABCD，又因为PDCDD，所以AB平面PCD，又因为PC平面PCD，所以PCAB；解：（2）过点P作PKCD，垂足K，由（1）可知AB平面PCD，又因为AB平面ABC所以平面PCD平面ABC，所以PK平面ABC，所以PK即为点P到平面ABC的距离，在PDC中，所以，即点P到平面ABC的距离为19某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：150，160），160，170），170，180），180，190，进行统计，画出如图所
21、示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值【分析】（1）由图可知150，160），170，180），180，190三组的频率分别为0.275，0.225，0.05，由此求出身高在160，170）内的频率，进而能求出a（2）利用频率分布直方图能求出高一学生身高的平均数和中位数的估计值解：（1）由图可知150，160），170，180），180，190三组的频率分别为0.275，0.225，0.05，所以身高在160，170）内的频率10.2750.2250.050.45，所以；（2）平均数0.275155+0.45165+0.225175+0.
22、05185165.5设中位数x，由0.027510+0.045（x160）0.5解得x16520已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答cosAcos2Bcos2Csin2Bsin2C；c（sinB+sinC）asinAbsinB：ABC的面积为（1）求角A的大小；（2）若点D满足，且，求4c+b的最小值【分析】（1）若选择，由所给条件可得2cos2AcosA10，解方程可得，结合范围0A，可得A的值；若选择，所给条件可得bc2bccosA，可得cosA的值，进而可求A的值；若选择，由题意，利用三角形的面积公式，同角三角函数
23、基本关系式可求tanA，进而可求A的值（2）由题意可求，即，进而可得，利用基本不等式即可求解解：（1）若选，由已知得cosAcos2（B+C）cos2A，2cos2AcosA10，即，或cosA1（舍去），又0A，若选，由已知得c（b+c）a2b2，bc2bccosA，即，又0A，若选，由已知得，又0A，（2），即，（b2+c2+2bc），即，bcb+c，即，当且仅当，即b2c时，4c+b有最小值921在矩形ABCD中，AB4，AD2点E，F分别在AB，CD上，且AE2，CF1沿EF将四边形AEFD翻折至四边形AEFD，点A平面BCFE（1）求证：CD平面ABE；（2）A，B，C，D四点是否共
24、面？给出结论，并给予证明；（3）在翻折的过程中，设二面角ABCE的平面角为，求tan的最大值【分析】（1）由DFAE，得DF平面AEB，由FCEB，得DF平面AEB，从而平面DFC平面AEB，由此能证明CD平面AEB：（2）假设A，D，B，C四点共面，则ADBC或ADBCQ若ADBC，则AD平面BCFE，从而ADEF，与已知矛盾；若ADBCQ，则QEF，从而AD，BC，EF交于一点，与已知矛盾，由此能证明A，B，C，D四点不共面（3）在面AC内作AOEF于点O，作AMAO于M，作MNBC于N，则AM平面BCFE，AMBC，从而BC平面AMN，BCAN，ANM为二面角ABCE的平面角，由AOEF
25、，AOEF，得AOM为二面角AEFB的平面角，设AOM，（0，），由此入手能推导出当时tan取到的最大值为1解：（1）证明：因为DFAE，DF平面AEB，AE平面AEB，所以DF平面AEB，因为FCEB，FC平面AEB，EB平面AEB所以DF平面AEB，又因为FCDFF，所以平面DFC平面AEB，因为CD面DFC，所以CD平面AEB（2）A，B，C，D四点不共面证明：假设A，D，B，C四点共面，则ADBC或ADBCQ若ADBC，又因为AD平再BCFE，所以AD平面BCFE，所以ADEF（与已知矛盾，舍去），若ADBCQ，所以Q平面AEFD，Q平面BCFE，根据基本事实3，所以QEF，所以AD，BC，EF交于一点（与已知矛盾，舍去）；综上所述，A，B，C，D四点不共面（3）如图，在面AC内作AOEF于点O，作AMAO于M，作MNBC于N，由题意可得点M为点A在平面BCFE的射影，所以AM平面BCFE，所以AMBC，又因为MNBC，MNAMM，所以BC平面AMN，所以BCAN，所以ANM为二面角ABCE的平面角，因为AOEF，AOEF，所以AOM为二面角AEFB的平面角，设AOM，（0，）当时，点O与点M重合，由，可得，.时，因为，所以，所以，故，所以同理当时，所以，故所以，设，所以所以，由解得1y1，所以，当时tan取到的最大值为1
