1、专题三第2讲 空间中位置关系的判断与证明立体几何考向预测1以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透知识与技巧的梳理1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba(2)线面平行的性质定理：a，a，bab(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b(4)面面平行的性质定理：，a，bab2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl(2)线面垂直的性质定理：a，bab(3)面面垂直的判定定理：a，a(4)面面垂直的
2、性质定理：，l，a，ala热点题型热点一空间点、线、面位置关系的判定【例1】(2017成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，且m，n有下列命题：若，则mn；若，则m；若l，且ml，nl，则；若l，且ml，mn，则其中真命题的个数是()A0B1C2D3解析若，则mn或m，n异面，不正确；若，根据平面与平面平行的性质，可得m，正确；若l，且ml，nl，则与不一定垂直，不正确；若l，且ml，mn，l与n不一定相交，不能推出，不正确答案B探究提高判断与空间位置关系有关的命题真假的方法：(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间
3、几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断【训练1】 (2017广东省际名校联考)已知，为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是()Aa，若ba，则bB，c，bc，则bCab，bc，则acDabA，a，b，a，b，则解析选项A中，b或b，不正确B中b与可能斜交，B错误C中ac，a与c异面，或a与c相交，C错误利用面面平行的判定定理，易知D正确答案D热点二空间平行、垂直关系的证明【例2】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，
4、平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD证明(1)平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，PA底面ABCD(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE四边形ABED为平行四边形BEAD又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD(3)ABAD，而且ABED为平行四边形BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCDPACD，且PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPDE和F分别是CD和PC的中点，PDEF
5、CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD平面PCD，平面BEF平面PCD探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直【训练2】 (2017成都诊断)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且将AED，CFD，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示图1图2(1)求证：GR平面PE
6、F；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥PDEF的内切球的半径(1)证明在正方形ABCD中，A，B，C为直角在三棱锥PDEF中，PE，PF，PD两两垂直又PEPFP，PD平面PEF，即，在PDH中，RGPDGR平面PEF(2)解正方形ABCD边长为4由题意知，PEPF2，PD4，EF2，DF2SPEF2，SDPFSDPE4SDEF26设三棱锥PDEF内切球的半径为r，则三棱锥的体积为VPDEFPDSPEF(SPEF2SDPFSDEF)r，解得r三棱锥PDEF的内切球的半径为（45分钟）限时训练经典常规题1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所
7、在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()2(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么如果m，n，那么mn如果，m，那么m如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)3(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()ABCD4(2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD
8、的体积为，求该四棱锥的侧面积高频易错题1(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnlDmn2(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC3(2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC4(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD
9、，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积精准预测题1(2017梅州质检)已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若m，nm，则nC若m，n，则mnD若，n，mn，则m2如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE3(2017石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn
10、，m，则m；若，则其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D34如图，在空间四边形ABCD中，点MAB，点NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_5(2017石家庄模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB(1)求证：AC平面FBC(2)求四面体FBCD的体积(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由参考答案经典常规题1【解题思路】 在平面MNQ中找是否有直线与直线AB平行【答案】法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱
11、的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ因此A项不正确故选A图(1) 图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行A项不正确故选A2【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建）【答案】当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为故填3【解题思路】 利用平行关系转化m，n所成角【答案】如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，因为平面CB1
12、D1，所以m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m因为平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为故选A4【解题思路】 (1) AB平面PAD；(2)利用(1)中面面垂直作出高【答案】 (1)证明BAPCDP90，ABPA，CDPDABCD，ABPD又PAPDP，PA，PD平面PAD，AB平面PADAB平面PAB，平面PAB
13、平面PAD(2)解取AD的中点E，连接PEPAPD，PEAD由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD设ABx，则由已知可得ADx，PEx，故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3由题设得x3，故x2从而PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062高频易错题1【解题思路】 构建模型再进一步证明【答案】由已知，l，l，又n，nl，C正确故选C2【解题思路】 画出其图形，一一验证选项【答案】如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1又B1CBC1，且A1B1B1CB
14、1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1故选C3【解题思路】 (1)由线线平行得到线面平行；(2)垂直关系互相转化【答案】 证明(1)在平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEFAB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABDAD平面ABD，BCAD又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因为AC平面ABC，ADAC4【解题思路】 (1)取BP中点，利用中位线；(2) N点到底面的距离是P点到底面的距离的一半【答案】 (1)证明由已知得AMAD
15、2如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2又ADBC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA如图，取BC的中点E，连接AE由ABAC3得AEBC，AE由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM精准预测题1【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建）【答案】对于A，m，n，则mn或m，n异面，故A错误；对于B，若m，nm，则n或n，故B错误；对于C，若n，
16、则n或n，又m，mn，故C正确；对于D，若，n，mn，则m可能与相交，也可能与平行，也可能在内，故D错误故选C2【解题思路】 等腰三角形三线合一可得线线垂直关系【答案】因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，又BEDEE，于是AC平面BDE因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以选C3【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建）【答案】mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误故选B4【解题思路】 相似比可得平行关系 【答案】由，得MNBD而BD平面BDC，MN平面BDC，所以M
17、N平面BDC故填平行5【解题思路】 (1)底面长度确定，可用勾股定理证垂直；(2) FC即为棱锥的高；(3) 先利用中点找出M，再证明【答案】 (1)证明在ABC中，因为AC，AB2，BC1，所以AC2BC2AB2，所以ACBC又因为ACFB，BCFBB，BC，FB平面FBC，所以AC平面FBC(2)解因为AC平面FBC，FC平面FBC，所以ACFC因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1所以BCD的面积为S所以四面体FBCD的体积为VFBCDSFC(3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM证明如下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点所以EAMN因为MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA平面FDM成立