1、第五章 平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算基础知识整合1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)续表向量运算定义法则(或几何意义
2、)运算律减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1. 1对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
3、D既不充分也不必要条件答案A解析当ab0时，ab，所以ab；当ab时，不一定有ab，所以“ab0”是“ab”的充分不必要条件故选A.2(2019嘉兴学科基础测试)在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则()A.ab B.abCab Dab答案A解析因为ab.故选A.3已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是()Aab0 BabCa与b共线反向 D存在正实数，使ab答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故D正确4设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是()； ()； .A1 B2 C3 D4答案C解析由向量加法的
4、平行四边形法则，知，()是正确的；由向量减法的三角形法则，知是正确的；因为，的大小相同，方向相反，所以是错误的故选C.5如图所示，向量a，b，c，A，B，C三点在一条直线上，且3，则()AcabBcabCca2bDca2b答案A解析3，()，即cab.故选A.6(2019安徽芜湖模拟)已知ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且a，b，则_，_(用a，b表示)答案baab解析如图，ba，ab.核心考向突破考向一平面向量的概念 例1给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； 若A，B，C，D是不共线的四点，则，则四边形ABCD为平行四边形
5、；ab的充要条件是|a|b|且ab；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中真命题的序号是_答案解析错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误，若b0，则a与c不一定共线正确，因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线故填.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它
6、们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量即时训练1.设a0为单位向量，有下列命题：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.其中假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.故选D. 精准设计考向，多角度探究突破考
7、向二平面向量的线性运算角度1向量加减法的几何意义例2(1)在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对答案C解析由已知得，a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形故选C.(2)(2017全国卷)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()Aab B|a|b|Cab D|a|b|答案A解析解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知|，从而ABCD为矩
8、形，即ABAD，故ab.故选A.角度2平面向量线性运算例3(1)(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A解析根据向量的运算法则，可得()，故选A.(2)(2019唐山统考)在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. B.C. D.答案B解析因为2，所以2.又因为M是BC的中点，所以()().故选B.角度3利用线性运算求参数例4(1)在ABC中，点D在边CB的延长线上，且4rs，则sr等于()A0 B. C. D3答案C解析因为4，所以.又因为，所以()，所以rs，sr.(2)(2019河南中原联考)如图所示，矩形ABCD的对
9、角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22()A. B. C1 D.答案A解析()，所以，故22.故选A.向量线性运算的解题策略(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则 (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解即时训练2.已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设a，b，c，d，则()Aabcd0 Babcd0Cabcd0 Dabcd0答案B解析如图所示，ab，cd，四边形ABCD是平行四边形，AB綊DC，且与反向，即
10、0，也就是abcd0.3(2020湖南师范大学附中模拟)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则()A. B.C. D.答案D解析根据题意得()，又因为，所以.故选D.4(2019辽宁丹东总复习质量测试二)在ABC中，2，0，若xy，则()Ay3x Bx3yCy3x Dx3y答案D解析因为2，所以点D是BC的中点，又因为0，所以点E是AD的中点，所以有()，EBAA，因此x，yx3y，故选D.考向三共线向量定理的应用 例5(1)(2019朔州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A BC D不存
11、在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又因为3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，所以解得k.故选A.(2)已知平面内的三点A，B，O不共线，且，则A，P，B三点共线的一个必要不充分条件是()A B|C D1答案B解析A，P，B三点共线，即存在一个实数m，使得m，m，即m()，(m)(m)，A，B，O三点不共线，m0，m0，即m，A，B，P三点共线的充要条件为，结合各选项知A，B，P三点共线的一个必要不充分条件为|.故选B.(1)三点共线问题可转化为向量共线问题
12、来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数(2)三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线存在实数，对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足(1)即时训练5.(2019济南模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1 B C. D2答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所
13、以0，故.故选B.6(2019郴州市高三第一次质检)如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且x，y，则3xy的最小值为_答案解析G是ABC的重心，又x，y，M，G，N三点共线，1，3xy(3xy)12.(2019铁岭模拟)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5答案B解析解法一：由0，知点M为ABC的重心，设点D为边BC的中点，则由向量加法，可知2.由重心的性质，可知|，而且与同向，故，所以()()，所以3，所以m3.故选B.解法二：由已知得m，又，所以3m，所以m3.故选B.答题启示进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解对点训练在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则()A.ab B.abCab Dab答案B解析如图，过点F作BC的平行线交DE于点G，则G是DE的中点，且，所以，易知AHDFHG，从而，所以，因为ba，所以ab.故选B.