1、2015-2016学年江西省九江一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（5×12=60分）1已知集合A=0，1，2，B=0，1，则AB=（）A0，1，2B1，2C0，1D02下列说法正确的是（）A小于90的角是锐角B钝角是第二象限的角C第二象限的角大于第一象限的角D若角与角的终边相同，那么=3若直线ax+2y+1=0与直线x+y2=0互相垂直，则实数a=（）A1B2CD4从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A不都相等B都不相等C都相等，且为D都相等，且为5
2、已知是第二象限角，那么是（）A第一象限角B第二象限角C第二或第四象限角D第一或第三象限角6一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（）A65B74C56D477向顶角为120的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）ABCD8已知函数f（x）满足：对任意的x1、x2（x1x2），均有，则（）ABf（60.5）f（0.76）f（log0.76）CD9函数图象的大致形状是（）ABCD10如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G
3、，已知AED是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面ACDEC三棱锥EFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直11已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称若对任意的x，yR，不等式f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，则当x3时，x2+y2的取值范围是（）A（3，7）B（9，25）C（13，49）D（9，49）12已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A（1，+）B（
4、1，1C（，1）D1，1）二、填空题（5×4=20分）13数据x1，x2，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x16，2x26，2x86的平均数为，方差为14某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n=15执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是16若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的斜率的取值区间为三、解答题17对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社
5、区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：分组频数频率10，15）mp15，20）24n20，25）40.125，30）20.05合计M1（1）若已知M=40，求出表中m、n、p中及图中a的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间10，15）内的人数18已知扇形AOB的周长为8（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小19设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a
6、是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率20如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图（1）若F为PD的中点，求证：AF面PCD；（2）证明：BD面PEC；（3）求该几何体的体积21已知A，B为圆O：x2+y2=4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点（点M在上、点N在下）（1）若弦MN的长等于，求直线l的方程；（2）若M，N都不与A，B重合，直线AN与BM的交点为C证明：点C在直线y=122已知定义在区间（0，+）上的函数f（x）=|t（x+）5|，其中常函数t0（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+）上单
7、调，试求t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4证明：x1x2x3x4=16；是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的取值范围为ma，mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由2015-2016学年江西省九江一中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分）1已知集合A=0，1，2，B=0，1，则AB=（）A0，1，2B1，2C0，1D0【考点】交集及其运算【分析】由A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：A=0，1，2，B=0，1，AB=0，1，故选：C2下列说法正确的是
8、（）A小于90的角是锐角B钝角是第二象限的角C第二象限的角大于第一象限的角D若角与角的终边相同，那么=【考点】任意角的概念【分析】直接利用角的概念判断即可【解答】解：小于90的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确钝角是第二象限的角，正确；第二象限的角大于第一象限的角，例如：150是第二象限角，390是第一象限角，显然判断是不正确的CS是不正确的若角与角的终边相同，那么=+2k，kZ，所以D 不正确故选：B3若直线ax+2y+1=0与直线x+y2=0互相垂直，则实数a=（）A1B2CD【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】由直线的垂直关系可得a1+21=0，解方程可得【解答】解：直线a
9、x+2y+1=0与直线x+y2=0互相垂直，a1+21=0，解得a=2故选：B4从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A不都相等B都不相等C都相等，且为D都相等，且为【考点】简单随机抽样【分析】根据在随机抽样与系统抽样方法中，每件被选中的概率相等可得答案【解答】解：从2003件产品中选取50件，每件被选中的概率相等，每件产品被选中的概率为故选：C5已知是第二象限角，那么是（）A第一象限角B第二象限角C第二或第四象限角D第一或第三象限角【考点】象限角、轴线角【分析】用不等式
10、表示是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，所在的象限【解答】解：是第二象限角，2k+2k+，kz，k+k+，kz，当k取偶数（如 0）时，是第一象限角，当k取奇数（如 1）时，是第三象限角，故选 D6一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（）A65B74C56D47【考点】线性回归方程【分析】先计算样本中心点，代入线性回归方程，可得a的值【解答】解：由题意， =7.5， =131代入线性回归直线方程为=8.
11、8+a，得131=8.87.5+a，可得a=65，故选：A7向顶角为120的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式求出满足条件的区域对应的面积即可得到结论【解答】解：若AM小于AC，则M位于阴影部分，C=120，A=30，则三角形ABC的面积为SABC=AC2=AC2，扇形的面积S=AC2=AC2，则对应的概率P=，故选：B8已知函数f（x）满足：对任意的x1、x2（x1x2），均有，则（）ABf（60.5）f（0.76）f（log0.76）CD【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由题意可得，当x1x
12、2时，都有f（x1）f（x2），故函数f（x）在R上是减函数，由此可得结论【解答】解：函数f（x）满足：对任意的x1、x2（x1x2），均有，可得当x1x2时，都有f（x1）f（x2），故函数f（x）在R上是减函数；又60.510.760log0.76，故有f（60.5）f（0.76）f（log0.76），故选：B9函数图象的大致形状是（）ABCD【考点】指数函数的图象变换【分析】根据函数f（x）=，再根据函数的单调性和值域，结合所给的选项可得结论【解答】解：函数=，在（0，+）上是减函数，值域（0，1）在（，0）上是增函数，值域是（，1），故选D10如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线D
13、E相交于G，已知AED是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面ACDEC三棱锥EFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直【考点】异面直线及其所成的角【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：AD=AE，ABC是正三角形，A在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面AGF一定过平面BCED的垂线，恒有平面AGF平面BCED，故B正确；三棱锥AFED的底面积是定值，体积由高即A到底面
14、的距离决定，当平面ADE平面BCED时，三棱锥AFED的体积有最大值，故C正确；当（AE）2+EF2=（AF）2时，面直线AE与BD垂直，故错误故选：D11已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称若对任意的x，yR，不等式f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，则当x3时，x2+y2的取值范围是（）A（3，7）B（9，25）C（13，49）D（9，49）【考点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性【分析】由函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数
15、，由f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立，可把问题转化为（x3）2+（y4）24，借助于的有关知识可求【解答】解：函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称 函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（x）=f（x）又f（x）是定义在R上的增函数且f（x26x+21）+f（y28y）0恒成立（x26x+21）f（y28y）=f（8yy2 ）恒成立x26x+218yy2 （x3）2+（y4）24恒成立设M （x，y），则当x3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为
16、OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=713x2+y249故选 C12已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A（1，+）B（1，1C（，1）D1，1）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=2，x3x4=1；1x42；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=2，x3x4=1；1x42；故x3（x1+x2）+=+x4，其在1x42上是增函数，故2+1+x41+2；即1+
17、x41；故选B二、填空题（5×4=20分）13数据x1，x2，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x16，2x26，2x86的平均数为6，方差为16【考点】众数、中位数、平均数【分析】平均数的计算规律性很强，把知道平均数的一组数据做相同的变化，这组数据的平均数做一样的变化，而方差只与变量前的系数有关原数据标准差为2，则方差为4【解答】解：数据x1，x2，x8平均数为6，x1+x2+x8=86=48，2x16+2x26+2x86=24848=48，2x16，2x26，2x86的平均数为6数据数据x1，x2，x8标准差为2，方差为4，数据2x16，2x26，2x86的方差为224=16，
18、故答案为：6；1614某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n=200【考点】分层抽样方法【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，再把各层抽取的样本数相加可得样本容量 n的值【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，应抽取的教师人数为200=25，应抽取的女学生人数为 600=75，故样本容量 n=25+75+100=200故答案为 20015执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是105【考点】程序框图【分析
19、】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次进行循环体后，p=1，满足继续循环的条件，则k=3，p=3；当k=3时，满足继续循环的条件，则k=5，p=15；当k=5时，满足继续循环的条件，则k=7，p=105；当k=7时，不满足继续循环的条件，故输出的p的值是105故答案为：10516若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的斜率的取值区间为【考点】直线与圆相交的性质【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，根据圆上至少有三个
20、不同的点到直线l的距离等于2，得到圆心到直线的距离小于等于，利用点到直线的距离公式列出不等式，整理后求出的取值范围，根据直线的斜率k=，即可得出斜率k的取值范围【解答】解：圆x2+y24x4y10=0整理为，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，又，则直线l的斜率的取值区间为故答案为：三、解答题17对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：分组频数频率10，15）mp15，20）24n20，25）
21、40.125，30）20.05合计M1（1）若已知M=40，求出表中m、n、p中及图中a的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间10，15）内的人数【考点】频率分布直方图【分析】（1）根据频数和求出m的值，再根据频率、频数与样本容量的关系求出p、n和a的值；（2）根据频率、频数与样本容量的关系求出对应的人数即可【解答】解：（1）因为频数之和为40，所以4+24+m+2=40，m=10；，n=0.6；因为a是对应分组15，20）的频率与组距的商，所以；（2）因为该校高二学生有240人，分组10，15）内的频率是p=0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务
22、的次数在此区间内的人数为2400.25=60（人）18已知扇形AOB的周长为8（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小【考点】扇形面积公式【分析】（1）设扇形半径为R，扇形弧长为l，周长为C，所以，解方程组代入角的弧度数的定义可得；（2）由8=l+2R结配方法，可得此时圆心角【解答】解：（1）设扇形半径为R，扇形弧长为l，周长为C，所以，解得或，圆心角，或是（2）根据，2R+l=8，得到l=82R，0R4，当R=2时，Smax=4，此时l=4，那么圆心角=2，19设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任
23、取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到ab（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2，满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab，根据概率等于面积之比，得到概率【解答】解：设事件A为“方程有实根”当a0，b0
24、时，方程有实根的充要条件为ab（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P=（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab所求的概率是20如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图（1）若F为PD的中点，求证：AF面PCD；（2）证明：BD面PEC；（3）求该
25、几何体的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由等腰三角形底边中线的性质可得AFPD，再由已知证得CD面PAD，进一步得到CDAF，结合线面垂直的判定得答案；（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连结MN、ME，可证得四边形BEMN为平行四边形，由此得到EMBN，再由线面平行的判定得BN面PEC，即BD面PEC；（3）由三视图得到原几何体有关量，然后把原几何体的体积转化为两个棱锥：PABCD与PBCE的体积求解【解答】（1）证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，而且PA面ABCD，PAEB，PA=AD=4，EB=
26、2取PD的中点F，如图所示PA=AD，AFPD，又CDDA，CDPA，PADA=A，CD面ADP，CDAF又CDDP=D，AF面PCD；（2）证明：如图，取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连结MN、ME，如图所示，MNPA，MN=EB，MNEB，四边形BEMN为平行四边形，EMBN，又EM面PEC，BN面PEC，BD面PEC；（3）解：21已知A，B为圆O：x2+y2=4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点（点M在上、点N在下）（1）若弦MN的长等于，求直线l的方程；（2）若M，N都不与A，B重合，直线AN与BM的交点为C证明：点C在直线y=1【考点】直线与
27、圆的位置关系【分析】（1）当k不存在时，利用|MN|=|AB|=4判断；当k存在时，设直线l：y=kx+4，通过直线与圆的位置关系求出直线的斜率，然后求解直线l方程（2）根据圆的对称性，猜想点C落在定直线y=1上，联立直线与圆的方程，利用韦达定理以及判别式，求出BM的方程，然后判断直线AN与BM的交点在一条定直线上【解答】（1）解：当k不存在时，|MN|=|AB|=4不符合题意当k存在时，设直线l：y=kx+4圆心O到直线l的距离，解得综上所述，满足题意的直线l方程为（2）证明：设直线MN的方程为：y=kx+4，N（x1，y1）、M（x2，y2）联立得：（1+k2）x2+8kx+12=0直线A
28、N：，直线BM：消去x得：要证：C落在定直线y=1上，只需证：即证：即证：kx1x26x1=3kx1x2+6x2即证：4kx1x2+6（x1+x2）=0即证：显然成立所以直线AN与BM的交点在一条定直线上22已知定义在区间（0，+）上的函数f（x）=|t（x+）5|，其中常函数t0（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+）上单调，试求t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4证明：x1x2x3x4=16；是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的取值范围为ma，mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【考
29、点】根的存在性及根的个数判断【分析】（1）根据函数的单调性和最值，得到要使函数f（x）=|t（x+）5|分别在区间（0，2），（2，+）上单调，则g（x）=t（x+）50，求其最小值后由其最小值大于等于0得答案；（2）画出t=1时函数的图象，由g（x）=m和g（x）=m得两个方程，利用根与系数关系得到x1x2x3x4=16；令f（x）=0，解得：x=1或x=4然后分x（0，1），x（1，2），x（2，4），x（4，+）求得函数f（x）的解析式，增区间由得到矛盾的式子，说明不存在实数a，b，使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的取值范围为ma，mb减区间x（0，1）容易说明不存在实数a
30、，bx（2，4）时可求得存在实数a，b，使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的取值范围为ma，mb【解答】（1）解：x（0，+），当x=2时取最小值，且在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，要使函数f（x）=|t（x+）5|分别在区间（0，2），（2，+）上单调，则g（x）=t（x+）50，即g（x）min=4t50，t；（2）证明：当t=1时，f（x）=|（x+）5|，其图象如图，要使f（x）=m有4个根，则0m1，令g（x）=m，则x2（5+m）x+4=0，x1x4=4，令g（x）=m，则x2（5m）x+4=0，x2x3=4x1x2x3x4=16；解：令f（x）=0，解
31、得：x=1或x=4当x（1，2）时，f（x）=5（），由，得5bab=，即5ab4（a+b）=0，b=，由b（1，2），解得：a（1，2），由（），可得；当x（4，+）时，f（x）=，由，得，整理得：，即a4，b4，与矛盾，即实数a，b不存在；当x（0，1）时，f（x）=，由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，a，b（0，1），矛盾，即实数a，b不存在；当x（2，4）时，f（x）=5（），由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，再由f（a）=mb，得m=，把b=5a代入得，2a4，且ba，可得2a，m（，）综上，存在实数a，b（1，2），使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的取值范围为ma，mb，此时m的范围为（，；或a，b（2，4），使得函数f（x）在区间a，b上单调，且f（x）的取值范围为ma，mb，此时m的范围为（，）2016年10月31日