1、湖北省部分市州2023年元月高三年级联合调研考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）A1B2CD52已知集合，则集合（ ）ABCD3有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）A平均数B第50百分位数C极差D众数4已知，且，则的值为（ ）ABCD5已知函数则函数的图象大致是（ ）ABCD6已知数列的前n项和为，且，则的值为（ ）ABCD7已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为
2、（ ）ABCD28在三棱锥中，设侧面PBC与底面ABC的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（ ）ABCD4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（ ）ABCD10已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）ABCD11已知函数，则下列说法正确的是（ ）A是的一个周期B的图象关于点中心对称C在区间上的零点个数为4D的最大值为12已知正方体的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，
3、则下列说法正确的是（ ）A当点P在侧面（含边界）内时，为定值B当点P在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为C当点P在侧面（含边界）内时，对任意点P，总存在点Q，使得D点P的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中，常数项为_14已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为_15过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为，点P在抛物线的准线上若AP是的角平分线，则点P到直线l的距离为_16
4、已知关于x的不等式恒成立，则的最大值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤17（10分）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求边b的值；（2）若D为边BC的中点，求的面积18（12分）已知数列中，对任意的，都有（1）若为等差数列，求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和19（12分）如图所示，在四棱锥中，（1）证明：；（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值20（12分）2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每
5、场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为（1）求甲队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望；（2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率21（12分）已知，为椭圆C：的左、右焦点点M为椭圆上一点，当取最大值时，（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为，连接交x轴于点G设，的面积分别为，求的最大值22（12分）设函数（1）当时，求在上的最值；（2）对，不等式恒成立，求实数a的取值范围湖北省部分市州2023年元月
6、高三年级联合调研考试数学参考答案、提示及评分细则一、单项选择题1C 2D 3A 4C 5B 6D 7B 8B二、多项选择题9BC 10ABC 11ABD 12ACD三、填空题13614 155 1617解：（1）因为，由正弦定理得：，且，所以（2）延长AD至点E，满足，连接EB，EC，在中，由余弦定理得：，因为，代入上式整理得：，所以所以18解：（1）由条件，可得：，因为为等差数列，设公差为d，由上式可得：，所以的通项公式为（2）由条件，可得：，两式相减得：，因为，所以，所以数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列所以当n为偶数时，；当n为奇数时，综上：1
7、9解：（1）连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP因为，所以，因为，所以，又，所以平面OAP，因为平面OAP，所以（2）因为，所以，又，所以，所以，又，所以平面ABCD如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则，所以，平面PCD的法向量分别为，所以即取，则，设与平面PCD所成的角为，则则直线BC与平面PCD的夹角余弦值为20解：（1）甲队参加两场比赛后积分X的取值为0，1，2，3，4，6所以随机变量X的分布列为：X012346P随机变量X的数学期望：（2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14
8、分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分若每支球队得3分：则6场比赛都出现平局，其概率为：；若每支球队得4分：则6场比赛出现2场平局，则每支球队3场比赛结果均为1胜平1负，其概率为：所以四支球队积分相同的概率为21（1）依题意有当M为椭圆短轴端点时最大，此时，则为正三角形，则且，又，故椭圆方程为（2）设，则依题意有PA：，PB：（注：椭圆上一点的切线方程结论要求证明，没有证明扣一分，本答案证明过程略）因PA，PB都过点，则，则AB方程为，即AB过定点故设AB方程为，联立，又直线方程为：，令得，当且仅当即，时取等号故最大值为22解：（1）时，设，即在上单调递增，即，（2）即即，对上恒成立，设，当时，由（1）知时，当时，当时，时，不合题意当时，当时，在单调递增又，存在使，当时，在单调递减，此时，不合题意综上